Um pêndulo de comprimento L é afastado da vertical de um ângulo de alpha graus e solto em repouso. Para que ângulo com a vertical sua velocidade será um fator positivo K<1 da velocidade máxima atingida pelo pêndulo? Em particular, verifique sua resposta para o caso alpha=60^circ e K=1 / 2, a qual deve resultar em 51,32 ^circ.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: um pêndulo de comprimento é puxado até um ângulo da vertical e largado sem velocidade inicial. A gente sabe que ele atinge uma certa velocidade máxima lá embaixo ( ), e a pergunta é: em que ângulo a velocidade vale vezes essa velocidade máxima (com )? E aí, pra checar, quando e , a resposta tem que dar cerca de .
Conteúdo: conservação de energia mecânica (energia potencial gravitacional e cinética) e algumas manipulações com cosseno e arccos.

Passo 2

Vamos montar a conservação de energia entre o ponto de partida ( Ui = mgLl(1 - cosalphar) ) e um ponto genérico Uf = mgLl(1 - costhetar), Kf = tfrac12 m v^2 :
  1. Na posição inicial ( Ui = Uf + Kf Longrightarrow mgL(1 - cosalpha) = mgL(1 - costheta) + tfrac12 m v^2 ), o pêndulo tem energia cinética zero e energia potencial
  2. Na posição , ele desceu em relação à inicial, então tem
Conservando energia:

Passo 3

Isolando tfrac12 m v^2 = mgLl(costheta - cosalphar) Longrightarrow v^2 = 2gLl(costheta - cosalphar) :
vmax^2 = 2gLl(cos0 - cosalphar) = 2gLl(1 - cosalphar)
Agora, a velocidade máxima ocorre em , então

Passo 4

A condição do problema é v^2 = K^2,vmax^2 ;Longrightarrow; 2gL(costheta - cosalpha) = K^2cdot 2gL(1 - cosalpha) . Elevando ao quadrado:
costheta - cosalpha = K^2,(1 - cosalpha) Longrightarrow costheta = cosalpha + K^2,(1 - cosalpha)
Cancelando theta = arccos!l[cosalpha + K^2,(1 - cosalpha)r] dos dois lados:
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Passo 5

Bora checar cosalpha = cos60^circ = 0,5, K^2 = l(tfrac12r)^2 = 0,25 e costheta = 0,5 + 0,25,(1 - 0,5) = 0,5 + 0,25 times 0,5 = 0,5 + 0,125 = 0,625 :
theta = arccos(0,625) approx 51,32^circ
Então
E aí

Resposta

.
Para e , dá .

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