Você é responsável pelo projeto de uma rampa para a abertura do espetáculo Globo da Morte. Nesse evento, um motoqueiro deve inicialmente descer do ponto mais alto da rampa, partindo do repouso, utilizar a força do motor apenas enquanto estiver na mesma, e finalmente conseguir efetuar o giro completo ao menos uma vez. Como bom profissional, você deve minimizar os custos envolvidos no seu projeto. Sua equipe lhe informa que a construção de uma rampa com altura
tem custo dado por
, sendo
. Ainda, como no espetáculo o motor trabalha somente durante a descida, o custo por motor para descer a rampa é
, com
.
a. Sabendo que o loop tem raio R, aplique o Teorema Trabalho-Energia para encontrar uma expressão para
, na qual apenas
é uma quantidade desconhecida.
b. O custo total, com um motoqueiro no espetáculo, é
. Encontre o
que minimiza essa função.
c. DESAFIO ADICIONAL Sabendo que
e que a função custo total deve satisfazer
, encontre desigualdades que determinam os valores possíveis para a razão b/a.
a. Sabendo que o loop tem raio R, aplique o Teorema Trabalho-Energia para encontrar uma expressão para
b. O custo total, com um motoqueiro no espetáculo, é
c. DESAFIO ADICIONAL Sabendo que
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é projetar uma rampa de altura
pra um piloto descer, pegar velocidade e dar pelo menos um giro no loop de raio
.
Conteúdo: mecânica básica (energia potencial, cinética e Teorema Trabalho–Energia) + condição de “ficar colado” no loop (força normal ≥0 quer dizer que no topo do loop a velocidade mínima é ).
Vamos precisar de:
Conteúdo: mecânica básica (energia potencial, cinética e Teorema Trabalho–Energia) + condição de “ficar colado” no loop (força normal ≥0 quer dizer que no topo do loop a velocidade mínima é
Vamos precisar de:
- massa do motoqueiro+moto:
- gravidade:
- condição de loop:
- Teorema Trabalho–Energia:
.
Passo 2
(a) Encontrar
usando Trabalho–Energia até o topo do loop.
- No início, o piloto parte do repouso:
. No fim, no topo do loop, e precisa de , então
. - A diferença de energia potencial do ponto alto da rampa (altura
) até o topo do loop (altura ) é
. - Trabalho da gravidade é
. - Pelo Teorema:
Isolando :
Passo 3
(b) Agora o custo total é
Pra achar o
que minimiza, derivamos e igualamos a zero:
Passo 4
© Queremos ainda que
-
⇒ ⇒ . - E que a expressão de
faça sentido (não virar negativa), ou seja,
Logo a razão
deve satisfazer
Resposta
a)
.
b) .
c) Para a solução ser viável e o custo positivo,
b)
c) Para a solução ser viável e o custo positivo,