Você é responsável pelo projeto de uma rampa para a abertura do espetáculo Globo da Morte. Nesse evento, um motoqueiro deve inicialmente descer do ponto mais alto da rampa, partindo do repouso, utilizar a força do motor apenas enquanto estiver na mesma, e finalmente conseguir efetuar o giro completo ao menos uma vez. Como bom profissional, você deve minimizar os custos envolvidos no seu projeto. Sua equipe lhe informa que a construção de uma rampa com altura h tem custo dado por C rampa (h)=ah^2, sendo a>0. Ainda, como no espetáculo o motor trabalha somente durante a descida, o custo por motor para descer a rampa é C motor (h)=b W motor (h), com b>0.
a. Sabendo que o loop tem raio R, aplique o Teorema Trabalho-Energia para encontrar uma expressão para W motor (h), na qual apenas h é uma quantidade desconhecida.
b. O custo total, com um motoqueiro no espetáculo, é C total (h)=C motor (h)+C rampa (h). Encontre o h min que minimiza essa função.
c. DESAFIO ADICIONAL Sabendo que h>0 e que a função custo total deve satisfazer , encontre desigualdades que determinam os valores possíveis para a razão b/a.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é projetar uma rampa de altura pra um piloto descer, pegar velocidade e dar pelo menos um giro no loop de raio .
Conteúdo: mecânica básica (energia potencial, cinética e Teorema Trabalho–Energia) + condição de “ficar colado” no loop (força normal ≥0 quer dizer que no topo do loop a velocidade mínima é ).
Vamos precisar de:
  • massa do motoqueiro+moto:
  • gravidade:
  • condição de loop:
  • Teorema Trabalho–Energia: .

Passo 2

(a) Encontrar Wrm motor+Wrm grav=Kf - Ki Longrightarrow Wrm motor + (m g h -2mgR)=tfrac12m,gR usando Trabalho–Energia até o topo do loop.
  1. No início, o piloto parte do repouso: Wrm motor(h) =tfrac12m,gR - (mgh -2m gR) =52,mgR ;-; mgh . No fim, no topo do loop, e precisa de , então
    .
  2. A diferença de energia potencial do ponto alto da rampa (altura ) até o topo do loop (altura ) é
    .
  3. Trabalho da gravidade é .
  4. Pelo Teorema: Isolando :

Passo 3

(b) Agora o custo total é
Crm total(h) = Crm rampa(h)+Crm motor(h) = a,h^2 + b,Wrm motor(h) = a,h^2 + bl(tfrac52,mgR - mghr)
Pra achar o dCrm totaldh = 2a,h - b,m,g ;stackrel!=;0 Longrightarrow hmin = b,m,g2a que minimiza, derivamos e igualamos a zero:

Passo 4

© Queremos ainda que
  1. Wrm motor(hmin) = 52,mgR - mg,hmin;>=0 Longrightarrow 52R - b,m,g2a,m,g >=0 ;Longrightarrow; ba <= 5Rmg 0 < b a ;<=;5Rm,g .
  2. E que a expressão de faça sentido (não virar negativa), ou seja,
Logo a razão deve satisfazer

Resposta

a) .
b) .
c) Para a solução ser viável e o custo positivo,

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