• Um pêndulo cônico é constituído de uma bola de massa m presa por um fio ideal a um fio de comprimento d ao teto. Seja \mathcal{Z} o eixo perpendicular ao teto. A bola performa um movimento circular uniforme de velocidade angular \omega em um plano paralelo ao teto, fazendo com o eixo Z um ângulo \theta. É correto afirmar que
    (a) O momento de inércia dessa bolinha em relação ao eixo \mathbb{Z} é I_{\mathcal{Z}}=m d^{2}.
    (b) O período do pêndulo é 1 / \omega.
    (c) Apenas a componente \mathbb{Z} do momento angular é constante no tempo.
    (d) O módulo do momento angular da bolinha é dado por \ell=m d \omega \operatorname{sen}(\theta).
    (e) A velocidade linear da bolinha é v=\omega d \cos (\theta).

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo cônico: uma massa m presa por um fio de comprimento d faz movimento circular uniforme com velocidade angular \omega em um plano paralelo ao teto, mantendo o fio formando um ângulo \theta com a vertical. Precisamos testar cinco afirmações envolvendo momento de inércia, período, conservação do momento angular e velocidades.

Passo 2

O raio da trajetória é
r = d\sin(\theta),
logo o momento de inércia em relação ao eixo \mathcal{Z} é
I_{\mathcal{Z}} = m r^{2} = m d^{2}\sin^{2}(\theta),
não sendo m d^{2}. Isso descarta a alternativa (a). A velocidade linear da massa é
v = \omega\,r = \omega\,d\sin(\theta),
não \omega d\cos(\theta), então a alternativa (e) também está errada.

Passo 3

O período T de um movimento circular uniforme de velocidade angular \omega satisfaz
T = \frac{2\pi}{\omega},
e não 1/\omega. Assim, a alternativa (b) falha.

Passo 4

O momento angular em relação ao ponto de suspensão é \mathbf{L} = \mathbf{r}\times m\mathbf{v}. Embora \mathbf{L} em geral não fique fixo, o torque resultante em torno do eixo \mathcal{Z} é nulo, pois a tensão não produz torque e o peso m\mathbf{g} gera torque apenas nos planos horizontais. Logo somente a componente \mathcal{Z} de \mathbf{L} é constante no tempo, tornando a alternativa (c) correta.

Passo 5

O módulo de \mathbf{L} é
L = m\,r\,v = m\,(d\sin\theta)\,(\omega d\sin\theta) = m\,\omega\,d^{2}\sin^{2}(\theta),
e não m\,d\,\omega\,\sin(\theta), portanto (d) também é falsa.

Resposta

(c)

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