• Uma batata tem momento de inércia I_{\mathscr{X}} associado a um certo eixo \mathscr{X}. Sejam dois novos eixos, \mathscr{Y} e \mathcal{Z}, ambos paralelos a \mathscr{X} e que distam dele, respectivamente, \ell e 2 \ell. Se o momento de inércia associado à \mathscr{Y} é I_{\mathscr{Y}}=2 I_{\mathscr{X}}, então o momento de inércia associado à \mathcal{Z} é
    (a) I_{\mathcal{Z}}=I_{\mathscr{X}} / 2.
    (b) I_{\mathcal{Z}}=2 I_{\mathscr{X}}.
    (c) I_{\mathcal{Z}}=3 I_{\mathscr{X}}.
    (d) I_{\mathcal{Z}}=4 I_{\mathscr{X}}.
    (e) I_{\mathcal{Z}}=5 I_{\mathscr{X}}.

Passo 1

O enunciado dá o momento de inércia de uma batata em relação ao eixo \mathscr{X}, que vale I_{\mathscr{X}}. Há dois eixos paralelos a \mathscr{X}: o eixo \mathscr{Y}, distante \ell, e o eixo \mathcal{Z}, distante 2\ell. Sabemos que
I_{\mathscr{Y}} = 2\,I_{\mathscr{X}}
e o objetivo é encontrar I_{\mathcal{Z}}. Para isso, vamos usar o Teorema dos Eixos Paralelos (ou Teorema de Steiner), que diz que, para um eixo paralelo a um original,
I_{\text{novo}} = I_{\text{original}} + m\,d^2,
onde m é a massa do corpo e d é a distância entre os eixos.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Steiner ao eixo \mathscr{Y}, temos
I_{\mathscr{Y}} = I_{\mathscr{X}} + m\,\ell^2.
Como I_{\mathscr{Y}} = 2\,I_{\mathscr{X}}, igualamos e obtém-se
2\,I_{\mathscr{X}} = I_{\mathscr{X}} + m\,\ell^2 \quad\Longrightarrow\quad m\,\ell^2 = I_{\mathscr{X}}.

Passo 3

Agora usamos o mesmo teorema para o eixo \mathcal{Z}, a 2\ell de \mathscr{X}:
I_{\mathcal{Z}} = I_{\mathscr{X}} + m\,(2\ell)^2 = I_{\mathscr{X}} + 4\,m\,\ell^2.
Substituindo m\,\ell^2 = I_{\mathscr{X}}, vem
I_{\mathcal{Z}} = I_{\mathscr{X}} + 4\,I_{\mathscr{X}} = 5\,I_{\mathscr{X}}.

Resposta

(e) I_{\mathcal{Z}} = 5\,I_{\mathscr{X}}.

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