• Dois patinadores aproximam-se um do outro em trajetórias paralelas separadas por uma distância d. Eles possuem velocidades de mesmo módulo e sentidos opostos. Quando passam um pelo outro, se dão as mãos. A partir desse momento eles giram, em torno de seu centro de massa, com velocidade angular \omega. De repente, os dois patinadores se puxam um na direção do outro, e a distância entre suas trajetórias passa a ser a metade do valor anterior.
Avalie se as seguintes afirmativas são falsas ou verdadeiras.
I. A velocidade angular inicial é igual à velocidade angular final.
II. O momento de inércia inicial é igual ao final.
III. O momento angular inicial é igual ao final.
São verdadeiras:
(a) I;
(b) II;
(c) III;
(d) I, II e III;
(e) Nenhuma está correta.

Passo 1

O enunciado descreve dois patinadores, cada um de massa m, que passam a girar de mãos dadas em torno do seu centro de massa comum. Inicialmente a distância entre as trajetórias paralelas é d, de modo que cada patinador está a uma distância r_i = d/2 do centro de massa. Depois eles puxam-se para que a distância entre as trajetórias passe a ser d/2, isto é, cada um fica agora a r_f = d/4. O conteúdo principal é a conservação do momento angular em relação ao centro de massa, pois não há torque externo.

Passo 2

Calcular o momento de inércia inicial I_i. Para dois pontos de massa m situados a r_i = d/2 do centro de rotação:
I_i = 2\,m\,(r_i)^2 = 2\,m\left(\frac{d}{2}\right)^2 = 2\,m\frac{d^2}{4} = \frac{m\,d^2}{2}.

Passo 3

Calcular o momento de inércia final I_f. Agora cada patinador está a r_f = d/4:
I_f = 2\,m\,(r_f)^2 = 2\,m\left(\frac{d}{4}\right)^2 = 2\,m\frac{d^2}{16} = \frac{m\,d^2}{8}.
Como \tfrac{m d^2}{8}\neq \tfrac{m d^2}{2}, o momento de inércia mudou, logo a afirmativa II é falsa.

Passo 4

Usar conservação do momento angular L. Como não há torque externo,
L_i = L_f.
Inicialmente L_i = I_i\,\omega. Portanto,
L_f = I_f\,\omega_f = I_i\,\omega.
Isto mostra que o momento angular se mantém constante, logo a afirmativa III é verdadeira.

Passo 5

Determinar a nova velocidade angular \omega_f:
\omega_f = \frac{I_i}{I_f}\,\omega = \frac{\tfrac{m d^2}{2}}{\tfrac{m d^2}{8}}\,\omega = 4\,\omega.
Como \omega_f \neq \omega, a afirmativa I é falsa.

Resposta

(c) III

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