Um pendulo cônico usa um prumo de massa 1,6 kg na extremidade de um fio fino de comprimento 2,7 m. Ao invés de balançar para frente e para trás como um Pendulo Simples, no Pendulo cônico o prumo se move em um círculo horizontal a uma velocidade constante, com o fio fazendo um anngulo fixo beta com a direçāo vertical. Considerando g=9.8 m / s^2 e beta=47,3^circ, DETERMINE, em s, o perfodo de revoluçāo do prumo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo cônico, que é aquele onde o prumo se move em um círculo horizontal mantendo um ângulo fixo com a vertical. A gente tem um prumo de massa 1,6 kg preso a um fio de 2,7 m fazendo um ângulo beta = 47,3^circ com a vertical. Queremos descobrir o período de revolução desse prumo, ou seja, quanto tempo ele leva para completar uma volta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força centrípeta e movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças envolvidas. No pêndulo cônico, a tensão no fio ( T) tem duas componentes: uma vertical que equilibra o peso do prumo e outra horizontal que fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.
A componente vertical da tensão é igual ao peso:
T cosbeta = m g
E a componente horizontal fornece a força centrípeta:
T sinbeta = m v^2r
onde v é a velocidade do prumo e r é o raio da trajetória circular.

Passo 3

Vamos primeiro encontrar o raio r da trajetória. O raio pode ser encontrado usando o comprimento do fio e o ângulo beta:
r = L sinbeta
Substituindo os valores:
r = 2,7 m times sin(47,3^circ)
Calculando:
sin(47,3^circ) approx 0,737
r approx 2,7 times 0,737 approx 1,9919 m

Passo 4

Agora, vamos relacionar a velocidade v com o período T. Sabemos que:
v = 2pi rT
Substituindo na equação da força centrípeta:
T sinbeta = m ( 2pi rT )^2r
Simplificando:
T sinbeta = 4pi^2 m rT^2
Rearranjando para isolar T^2:
T^3 = 4pi^2 m rsinbeta
T = raiz[3]4pi^2 m rsinbeta

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
T = raiz[3]4 pi^2 times 1,6 kg times 1,9919 msin(47,3^circ)
Calculando sin(47,3^circ) approx 0,737:
T = raiz[3]4 pi^2 times 1,6 times 1,99190,737
T = raiz[3]4 times 9,8696 times 1,6 times 1,99190,737
T = raiz[3]126,4320,737
T = raiz[3]171,658
T approx 5,54 s

Resposta

O período de revolução do prumo é aproximadamente 5,54 segundos.

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