Uma esfera metálica de raio
está carregada com uma carga de
que se espalha uniformemente sobre a superfície da esfera. A esfera metálica está em um suporte isolante e é cercada por uma casca esférica metálica maior, de raio interno de
e raio externo de
. Agora, uma carga de
é colocada no interior da casca esférica, que se espalha uniformemente na superfície interna da casca. Se o potencial é zero no infinito, qual é o potencial eletrostático: (b) na superfície da esfera;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletrostática envolvendo esferas metálicas carregadas. Precisamos encontrar o potencial eletrostático na superfície de uma esfera metálica. Para resolver isso, vamos usar conceitos como distribuição de carga em condutores e a fórmula do potencial elétrico para distribuições esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a situação: temos uma esfera metálica central de raio $ R_1 = 2,0,cm $ carregada com uma carga $ Q_1 = +5,0,\muC $. Ao redor dela, há uma casca esférica metálica maior com raio interno $ R_2 = 5,0,cm $ e raio externo $ R_3 = 6,0,cm $. Dentro dessa casca, colocamos uma carga $ Q_2 = -5,0,\muC $, que se distribui uniformemente na superfície interna da casca.
Como os materiais são metálicos, sabemos que as cargas se distribuem nas superfícies externas e internas dos condutores. Além disso, o potencial no infinito é zero, o que nos ajuda a determinar os potenciais em diferentes pontos.
Passo 3
Vamos lembrar que o potencial elétrico devido a uma carga pontual ou a uma distribuição esférica de carga é dado por:
onde:
- $ V $ é o potencial elétrico,
- $ Q $ é a carga,
- $ r $ é a distância do ponto onde estamos calculando o potencial até a carga,
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
No caso de condutores em equilíbrio eletrostático, o potencial é o mesmo em toda a superfície do condutor.
Passo 4
Vamos analisar as cargas:
- A esfera central tem carga $ +5,0,\muC $.
- A carga $ -5,0,\muC $ é colocada na superfície interna da casca. De acordo com a indução eletrostática, isso faz com que uma carga $ +5,0,\muC $ se redistribua na superfície externa da casca para manter o equilíbrio.
Passo 5
Agora, queremos encontrar o potencial na superfície da esfera central ($ r = R_1 $). Como as cargas na casca externa não influenciam o potencial dentro dela (princípio da blindagem eletrostática), o potencial na superfície da esfera central é apenas devido à sua própria carga.
Então, aplicando a fórmula do potencial:
Passo 6
Vamos calcular:
- $ Q_1 = +5,0,\muC = 5,0 \times 10^{-6},C $
- $ R_1 = 2,0,cm = 0,02,m $
- $ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8,988 \times 109,\text{N}\cdot\text{m}2/C^2 $
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Fazendo os cálculos:
Resposta
O potencial eletrostático na superfície da esfera metálica é de aproximadamente $ 2,25 \times 10^6,V $.