Um pêndulo físico em movimento oscilatório pode ser descrito matematicamente de acordo com a solução theta(t)=D operatorname c o s (y t+varphi). É válido lembrar que " theta " é o ângulo de oscilação, “D” é a amplitude de oscilação (ou ângulo máximo), “y” é a frequência angular que depende da massa do pêndulo, da aceleração da gravidade, da distância entre o ponto fixo e o centro de massa do pêndulo e do seu momento de inércia, “t” o tempo de oscilação e " varphi " a fase em que a oscilação se encontra. Como seria possível determinar precisamente o momento de inércia do pêndulo?

Passo 1

O enunciado pede para determinar o momento de inércia de um pêndulo físico a partir de sua oscilação.
Conteúdo: pequenas oscilações de pêndulo físico e relação entre período T, frequência angular omega e momento de inércia I.
O que vamos precisar: massa m do pêndulo, distância d do pivô ao centro de massa, aceleração da gravidade g e medição precisa do período T.

Passo 2

Escrevemos a equação de torque para pequenas oscilações:
I,ddottheta + m,g,d,theta = 0
Dessa equação de movimento obtém-se a frequência angular
omega = raizm,g,dI

Passo 3

Isolamos o momento de inércia I em função de omega:
I = m,g,domega^2

Passo 4

Como omega se relaciona com o período T por omega = 2pi/T, substituímos em I:
I = m,g,d (T2pi)^2 = m,g,d,T^24pi^2

Passo 5

Experimentalmente faz-se o seguinte:
  1. Mede-se com cronômetro o tempo de N oscilações e obtém-se T = ttotal/N.
  2. Pesa-se o pêndulo para achar m.
  3. Mede-se a distância d do ponto de apoio ao centro de massa.
  4. Substitui-se em
I = m,g,d,T^24pi^2
para calcular I.

Passo 6

Se quisermos o momento de inércia em relação ao centro de massa ( ICM), aplicamos o Teorema dos Eixos Paralelos:
ICM = I - m,d^2

Resposta

Medindo com precisão o período T, a massa m e a distância d, calcula-se
I = m,g,d,T^24pi^2,
e, se necessário, reduz-se ao centro de massa por
ICM = I - m,d^2

Exercícios relacionados