Num sistema Massa-Mola, a solução da equação que melhor descreve seus movimentos é dada por r(t)=A operatorname c o s (omega t+varphi). É válido lembrar que “r” é a posição do objeto preso à mola, “A” é a amplitude de oscilação, " omega " é a frequência angular, " t " o tempo de oscilação e " varphi " a fase em que a oscilação se encontra. Sabendo que a energia cinética do sistema é K=12 m v^2 e a energia potencial é U=12 k r^2, onde " m " representa a massa do objecto preso à mola, " v " sua velocidade e “k” a constante da mola. Mostre matematicamente que a energia mecânica é:
E=12 k A^2
Lembrar dos seguintes conceitos gerais:
v=d rd t
omega=raizkm
sen^2 x+cos ^2 x=1

Passo 1

O enunciado trata de um movimento harmônico simples descrito pela posição
r(t)=Acosl(omega t+varphir)
com energia cinética
K=12m,v^2
e energia potencial
U=12k,r^2
Queremos mostrar que a soma
E=K+U
é constante e igual a
12,k,A^2

Passo 2

Calculamos a velocidade derivando r(t) em relação a t:
v(t)=ddtl[Acos(omega t+varphi)r] =-A,omega,sin(omega t+varphi)

Passo 3

Substituímos v(t) e r(t) em K e U:
K(t) =12,ml[-A,omega,sin(omega t+varphi)r]^2 =12,m,A^2,omega^2,sin^2(omega t+varphi),
U(t) =12,kl[Acos(omega t+varphi)r]^2 =12,k,A^2,cos^2(omega t+varphi)

Passo 4

Somando K(t) e U(t) e usando omega^2=tfrackm e sin^2x+cos^2x=1, obtemos
E=K+U =12,m,A^2,omega^2,sin^2(dots) +12,k,A^2,cos^2(dots)
=12,k,A^2,sin^2(dots) +12,k,A^2,cos^2(dots) =12,k,A^2l[sin^2+cos^2r] =12,k,A^2

Resposta

E=12,k,A^2

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