Uma régua de um metro de comprimento é usada como um pêndulo físico. O pivô no qual ela é suspensa está encaixado num pequeno orifício situado a uma distância x da marca referente a 50 cm . Sabendo que o período desse pêndulo físico é igual a 2 s , calcule a distância x.

Passo 1

O enunciado dá uma régua uniforme de comprimento L=1,0 m suspensa como pêndulo físico num pivô afastado da marca dos 50 cm (centro da régua) de uma distância x. O período medido é T=2,0 s. Para resolver, precisamos usar a fórmula do período de um pêndulo físico e a expressão do momento de inércia de uma barra em relação a um ponto deslocado do seu centro de massa.

Passo 2

O período de um pêndulo físico é
T = 2pi raizIpm,g,d
onde Ip é o momento de inércia em relação ao pivô, m é a massa da régua, g a aceleração da gravidade e d a distância do pivô ao centro de massa. Aqui d = x.

Passo 3

O momento de inércia de uma barra uniforme de comprimento L em torno do seu centro é
Icm = 112m L^2
Pelo teorema dos eixos paralelos, em relação ao pivô a distância ao centro é x, então
Ip = Icm + m x^2 = m!l(tfracL^212 + x^2r)
Substituindo em T:
2pi raizml(tfracL^212+x^2r)m,g,x = 2pi raiztfracL^212+x^2g,x = T

Passo 4

Igualando ao valor dado T=2 s e simplificando:
2pi raiztfrac1^212+x^2g,x = 2 Longrightarrow raiztfrac112+x^2g,x = 1pi
Elevando ao quadrado e multiplicando por g,x:
tfrac112 + x^2 = g,xpi^2 ;;Longrightarrow;; x^2 - gpi^2,x + tfrac112 = 0
Isto é uma equação quadrática x^2 - A x + B =0 com
A = gpi^2, B=112
Resolvendo:
x = A pm raizA^2 - 4B2 = gpi^2pm raizl(gpi^2r)^2 - 4122

Passo 5

Usando g=9,8,m/s ^2:
A=9,8pi^2approx0,993, A^2-4Bapprox0,993^2-tfrac412approx0,653, raizcdotsapprox0,808
Logo
x approx 0,993pm0,8082 ;Longrightarrow; x1approx0,900 m, x2approx0,093 m
Como o pivô deve ficar dentro da régua e a partir do centro não pode exceder 0,50 m, a solução física é xapprox0,093 m.

Resposta

x approx 0,093 m.

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