Um disco circular uniforme, de raio R=12.5 cm, está suspenso, como um pêndulo físico, por um ponto situado na sua periferia. a)
Calcule o período das oscilações. b) Mostre que, se estivesse suspenso de um ponto situado na metade da distância entre o centro e a periferia, ele deveria ter o mesmo período.

Passo 1

O enunciado trata de um disco circular uniforme de raio R=12,5:cm que oscila como pêndulo físico em torno de um ponto de suspensão na sua periferia (parte a). Na parte b, pede-se para mostrar que, se o ponto de suspensão estiver a metade da distância entre o centro e a periferia (isto é, a R/2 do centro), o período será o mesmo.
Conteúdo: pêndulo físico, momento de inércia de um disco, teorema dos eixos paralelos e fórmula do período de pequenas oscilações

Passo 2

Para qualquer pêndulo físico vale
T = 2pi raizIm,g,d
onde I é o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão, m a massa, g a aceleração da gravidade e d a distância do ponto de suspensão ao centro de massa.

Passo 3

O momento de inércia do disco em torno de um eixo perpendicular ao plano que passa pelo seu centro é
Icm = tfrac12,m,R^2
Usando o teorema dos eixos paralelos para um núcleo de massa m afastado por d do centro,
I = Icm + m,d^2

Passo 4

Para suspensão na periferia, d1 = R. Então
I1 = tfrac12,m,R^2 + m,R^2 = tfrac32,m,R^2
Logo o período é
T1 = 2pi raizI1m,g,d1 =2pi raiztfrac32,m,R^2m,g,R =2pi raiz3,R2,g
Substituindo R=0,125:m e g=9,8:m/s^2,
T1 = 2pi raiz3cdot0,1252cdot9,8 approx0,87:s

Passo 5

Para suspensão a meio caminho, d2 = R/2. Então
I2 = tfrac12,m,R^2 + ml(tfrac R2r)^2 = tfrac12,m,R^2 + tfrac14,m,R^2 = tfrac34,m,R^2
O período torna-se
T2 = 2pi raizI2m,g,d2 =2pi raiztfrac34,m,R^2m,g,(R/2) =2pi raiz3,R2,g = T1

Resposta

T = 2pi raizdfrac3R2gapprox0,87:s para suspensão na periferia, e o mesmo valor aparece se o ponto estiver a R/2 do centro.

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