Um pêndulo de Foucault foi projetado para demonstrar o efeito de rotação da Terra. Um pêndulo desse exposto em um museu é muito longo, o que torna fácil ver seu efeito. Considere um pêndulo de Foucault de 15 m de comprimento e com uma esfera de 110 kg . Ele é posto a oscilar com uma amplitude de
.
a) Qual é o período do pêndulo?
b) Qual é a energia cinética máxima do pêndulo?
c) Qual é a velocidade máxima do pêndulo?
a) Qual é o período do pêndulo?
b) Qual é a energia cinética máxima do pêndulo?
c) Qual é a velocidade máxima do pêndulo?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e perguntas (vou listar exatamente o que temos e o que pedem):
- Comprimento do pêndulo:
. - Massa da esfera:
. - Amplitude angular inicial:
.
O enunciado pede:
(a) o período do pêndulo;
(b) a energia cinética máxima do pêndulo;
(c) a velocidade máxima do pêndulo.
Passo 2
Entender a aproximação e a fórmula do período. Para pequenas oscilações o pêndulo simples executa movimento harmónico simples cuja equação leva à seguinte expressão para o período:
Aqui:
-
é o período (tempo de uma oscilação completa); -
é o comprimento do pêndulo (em metros); -
é a aceleração da gravidade (usarei como valor padrão).
A condição “pequenas oscilações” significa que podemos aproximarquando está em radianos; é suficientemente pequeno para usar essa aproximação.
Passo 3
Calcular o período substituindo os valores na fórmula. Primeiro calcule a raiz:
Fazendo a conta:
Portanto
Arredondando de forma usual:
.
Passo 4
Converter a amplitude angular de graus para radianos e obter a amplitude linear (deslocamento máximo ao longo do arco). Conversão:
A amplitude linear (arco máximo) é aproximadamente
Explicação curta: em pequenas oscilações o deslocamento ao longo do arco é
com
em radianos.
Passo 5
Determinar a velocidade máxima. Para MHS do pêndulo a frequência angular é
Calcule:
Em MHS a velocidade máxima relaciona-se com a amplitude por
Substituindo:
(arredondando:
).
Passo 6
Determinar a energia cinética máxima. A energia cinética máxima ocorre no ponto de passagem pelo equilíbrio e é igual à energia potencial máxima que foi perdida ao descer da amplitude até o fundo; portanto
Usando
calculado, é direto usar
. Primeiro calcule
:
Então
Arredondando:
.
(Verificação alternativa: calcular com
dá o mesmo valor numericamente.)
(Verificação alternativa: calcular
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)