Um pêndulo de Foucault foi projetado para demonstrar o efeito de rotação da Terra. Um pêndulo desse exposto em um museu é muito longo, o que torna fácil ver seu efeito. Considere um pêndulo de Foucault de 15 m de comprimento e com uma esfera de 110 kg . Ele é posto a oscilar com uma amplitude de 3,5^{\circ}.
a) Qual é o período do pêndulo?
b) Qual é a energia cinética máxima do pêndulo?
c) Qual é a velocidade máxima do pêndulo?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e perguntas (vou listar exatamente o que temos e o que pedem):
  • Comprimento do pêndulo: L=15\\ \text{m}.
  • Massa da esfera: m=110\\ \text{kg}.
  • Amplitude angular inicial: 3,5^\circ.
    O enunciado pede:
    (a) o período do pêndulo;
    (b) a energia cinética máxima do pêndulo;
    (c) a velocidade máxima do pêndulo.

Passo 2

Entender a aproximação e a fórmula do período. Para pequenas oscilações o pêndulo simples executa movimento harmónico simples cuja equação leva à seguinte expressão para o período:
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Aqui:
  • T é o período (tempo de uma oscilação completa);
  • L é o comprimento do pêndulo (em metros);
  • g é a aceleração da gravidade (usarei g=9,8\\ \text{m/s}^2 como valor padrão).
    A condição “pequenas oscilações” significa que podemos aproximar \sin\theta\approx\theta quando \theta está em radianos; \theta=3,5^\circ é suficientemente pequeno para usar essa aproximação.

Passo 3

Calcular o período substituindo os valores na fórmula. Primeiro calcule a raiz:
\sqrt{\frac{L}{g}}=\sqrt{\frac{15}{9,8}}.
Fazendo a conta:
\frac{15}{9,8}\approx1,530612, \qquad \sqrt{1,530612}\approx1,23714.
Portanto
T = 2\pi\times1,23714\approx7,776\\ \text{s}.
Arredondando de forma usual: T\approx7,78\\ \text{s}.

Passo 4

Converter a amplitude angular de graus para radianos e obter a amplitude linear (deslocamento máximo ao longo do arco). Conversão:
\theta_0 = 3,5^\circ\times\frac{\pi}{180} \approx 0,0610865\\ \text{rad}.
A amplitude linear (arco máximo) é aproximadamente
A = L\,\theta_0 = 15\times0,0610865 \approx0,91630\\ \text{m}.
Explicação curta: em pequenas oscilações o deslocamento ao longo do arco é s=L\theta com \theta em radianos.

Passo 5

Determinar a velocidade máxima. Para MHS do pêndulo a frequência angular é
\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}.
Calcule:
\omega=\sqrt{\frac{9,8}{15}}\approx0,80831\\ \text{rad/s}.
Em MHS a velocidade máxima relaciona-se com a amplitude por
v_{\max}=\omega A.
Substituindo:
v_{\max}\approx0,80831\times0,91630\approx0,7407\\ \text{m/s}.
(arredondando: v_{\max}\approx0,741\\ \text{m/s}).

Passo 6

Determinar a energia cinética máxima. A energia cinética máxima ocorre no ponto de passagem pelo equilíbrio e é igual à energia potencial máxima que foi perdida ao descer da amplitude até o fundo; portanto
\frac{1}{2}m v_{\max}^2 = m g L\bigl(1-\cos\theta_0\bigr).
Usando v_{\max} calculado, é direto usar \tfrac{1}{2}m v_{\max}^2. Primeiro calcule v_{\max}^2:
v_{\max}^2\approx(0,7407)^2\approx0,5486\\ \text{m}^2/\text{s}^2.
Então
K_{\max}=\tfrac{1}{2}m v_{\max}^2 = \tfrac{1}{2}\times110\times0,5486\approx55\times0,5486\approx30,17\\ \text{J}.
Arredondando: K_{\max}\approx30,2\\ \text{J}.
(Verificação alternativa: calcular m g L(1-\cos\theta_0) com \cos\theta_0\approx1-\theta_0^2/2 dá o mesmo valor numericamente.)

Resposta

(a) T\approx7,78\\ \text{s}
(b) K_{\max}\approx30,2\\ \text{J}
(c) v_{\max}\approx0,741\\ \text{m/s}

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