Problema 07. Dado \alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right) tal que 3 \operatorname{sen}(\beta)=\operatorname{sen}(2 \alpha+\beta) \operatorname{etg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)=1-\operatorname{tg}^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right). Determine o valor de \alpha+\beta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados: \alpha,\beta\in\left(0,\frac{\pi}{4}\right).
  • Equações fornecidas (peguei-as do enunciado):
    • 3\operatorname{sen}(\beta)=\operatorname{sen}(2\alpha+\beta).
    • \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=1-\operatorname{tg}^{2}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right).
O que o enunciado pede: determinar o valor de \alpha+\beta.

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação que envolve \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right). Para simplificar, seja
k=\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right).
A equação dada é
k=1-k^{2}.
Reescrevendo em forma quadrática:
k^{2}+k-1=0.
Resolvendo essa equação (fórmula de Bhaskara): as raízes são
k=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.
Como k=\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)>0 (porque \alpha/2\in\left(0,\tfrac{\pi}{8}\right)), tomamos a raiz positiva:
k=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.
Agora usamos a identidade da tangente do ângulo duplo:
\operatorname{tg}(\alpha)=\frac{2\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}{1-\operatorname{tg}^{2}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}=\frac{2k}{1-k^{2}}.
Mas da equação original temos k^{2}=1-k. Então
1-k^{2}=1-(1-k)=k.
Substituindo:
\operatorname{tg}(\alpha)=\frac{2k}{k}=2.
Portanto
\operatorname{tg}(\alpha)=2.
Com \operatorname{tg}(\alpha)=2 podemos obter \operatorname{sen}\alpha e \cos\alpha em forma exata (usando que \operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\operatorname{tg}\alpha}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^{2}\alpha}} e \cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^{2}\alpha}}):
\operatorname{sen}\alpha=\frac{2}{\sqrt{1+4}}=\frac{2}{\sqrt{5}},\qquad \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+4}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Assim os valores do dobro do ângulo são
\operatorname{sen}(2\alpha)=2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha=\frac{4}{5},\qquad \cos(2\alpha)=\cos^{2}\alpha-\operatorname{sen}^{2}\alpha=\frac{1-4}{5}=-\frac{3}{5}.

Passo 3

Agora usemos a primeira equação 3\operatorname{sen}(\beta)=\operatorname{sen}(2\alpha+\beta). Expandindo o seno da soma:
\operatorname{sen}(2\alpha+\beta)=\operatorname{sen}(2\alpha)\cos\beta+\cos(2\alpha)\operatorname{sen}\beta.
Substituindo na equação:
3\operatorname{sen}\beta=\operatorname{sen}(2\alpha)\cos\beta+\cos(2\alpha)\operatorname{sen}\beta.
Agrupando termos em \operatorname{sen}\beta e dividindo por \cos\beta (que é positivo, pois \beta\in(0,\tfrac{\pi}{4})):
3\operatorname{tg}\beta=\operatorname{sen}(2\alpha)+\cos(2\alpha)\operatorname{tg}\beta.
Isolando \operatorname{tg}\beta:
\operatorname{tg}\beta\bigl(3-\cos(2\alpha)\bigr)=\operatorname{sen}(2\alpha) \quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}\beta=\frac{\operatorname{sen}(2\alpha)}{3-\cos(2\alpha)}.
Agora substituímos os valores exatos que obtivemos em \operatorname{sen}(2\alpha) e \cos(2\alpha):
\operatorname{tg}\beta=\frac{\tfrac{4}{5}}{3-(-\tfrac{3}{5})}=\frac{\tfrac{4}{5}}{\tfrac{15}{5}+\tfrac{3}{5}}=\frac{\tfrac{4}{5}}{\tfrac{18}{5}}=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}.
Portanto
\operatorname{tg}\beta=\frac{2}{9}.
Como \beta\in\left(0,\tfrac{\pi}{4}\right), pegamos o valor positivo correspondente: \beta=\arctan\!\left(\tfrac{2}{9}\right).

Passo 4

Queremos \alpha+\beta. Use a fórmula da tangente da soma:
\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta}.
Substituindo \operatorname{tg}\alpha=2 e \operatorname{tg}\beta=\dfrac{2}{9}:
\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{2+\tfrac{2}{9}}{1-2\cdot\tfrac{2}{9}} =\frac{\tfrac{18}{9}+\tfrac{2}{9}}{1-\tfrac{4}{9}} =\frac{\tfrac{20}{9}}{\tfrac{5}{9}}=4.
Como \alpha+\beta\in\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right) (soma de dois ângulos em (0,\tfrac{\pi}{4})), a tangente determina o ângulo unicamente nesse intervalo. Logo
\alpha+\beta=\arctan(4).

Passo 5

Resumo e incentivo rápido: conseguimos transformar a equação quadrática em \operatorname{tg}(\alpha/2) numa expressão simples para \operatorname{tg}\alpha, calcular \operatorname{sen}(2\alpha) e \cos(2\alpha) exatamente, achar \operatorname{tg}\beta e finalmente usar a fórmula da tangente da soma para obter \operatorname{tg}(\alpha+\beta)=4. Ótimo trabalho — já domina uma sequência útil de identidades trigonométricas!

Resposta

\alpha+\beta=\arctan(4)

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