Problema 07. Dado
tal que
. Determine o valor de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados:
. - Equações fornecidas (peguei-as do enunciado):
-
. -
.
-
O que o enunciado pede: determinar o valor de
.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação que envolve
. Para simplificar, seja
A equação dada é
Reescrevendo em forma quadrática:
Resolvendo essa equação (fórmula de Bhaskara): as raízes são
Como
(porque
), tomamos a raiz positiva:
Agora usamos a identidade da tangente do ângulo duplo:
Mas da equação original temos
. Então
Substituindo:
Portanto
Com
podemos obter
e
em forma exata (usando que
e
):
Assim os valores do dobro do ângulo são
Passo 3
Agora usemos a primeira equação
. Expandindo o seno da soma:
Substituindo na equação:
Agrupando termos em
e dividindo por
(que é positivo, pois
):
Isolando
:
Agora substituímos os valores exatos que obtivemos em
e
:
Portanto
Como
, pegamos o valor positivo correspondente:
.
Passo 4
Queremos
. Use a fórmula da tangente da soma:
Substituindo
e
:
Como
(soma de dois ângulos em
), a tangente determina o ângulo unicamente nesse intervalo. Logo
Passo 5
Resumo e incentivo rápido: conseguimos transformar a equação quadrática em
numa expressão simples para
, calcular
e
exatamente, achar
e finalmente usar a fórmula da tangente da soma para obter
. Ótimo trabalho — já domina uma sequência útil de identidades trigonométricas!