1.9- O pêndulo de um relógio consiste de uma haste metálica pivotada em uma extremidade com um disco acoplado na outra extremidade.
A massa da haste é desprezível em comparação à massa do disco. O período do pêndulo à temperatura
é
.
Mostre que a variação
do período do pêndulo devida à variação
da temperatura é aproximadamente dada por
onde
é o coeficiente de dilatação linear térmica da haste.
Mostre que a variação
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Informação: o pêndulo é formado por uma haste metálica (massa desprezível) e um disco na outra extremidade. A distância do pivô ao centro do disco é
. - Informação: a massa do disco domina, então podemos tratar a massa concentrada no centro do disco (ou seja, o pêndulo comporta-se como se a massa estivesse a uma distância
do pivô). - Informação: o período do pêndulo à temperatura
é . - Informação: a haste sofre dilatação linear com coeficiente
. - Pedido: mostrar que, para uma pequena variação de temperatura
, a variação do período é aproximadamente
O que vamos usar: fórmula do período para um pêndulo cujo comprimento (distância massa‑pivô) é
, e a relação entre variação de comprimento e temperatura dada por
.
Passo 2
Modelo físico e justificativa da aproximação simples.
- Para um pêndulo onde a haste tem massa desprezível e toda a massa está concentrada a uma distância
do pivô (caso aqui, massa do disco concentrada no seu centro), o período para pequenas oscilações tem a mesma forma do pêndulo simples:
onde:
-
é o período, -
é a distância do pivô ao centro de massa (aqui aproximadamente a distância até o centro do disco), -
é a aceleração da gravidade.
Explicação didática: essa fórmula vem do equilíbrio entre torque restaurador
e momento de inércia
para pequenas oscilações; resolvendo a equação de movimento obtém‑se a frequência
e daí
. Não é preciso detalhar mais para este problema porque a massa da haste é desprezível e o disco é pequeno comparado a
.
Passo 3
Como a temperatura altera o comprimento: definição de dilatação linear.
- O coeficiente de dilatação linear
significa que, para uma pequena variação de temperatura , o comprimento muda aproximadamente segundo
Isto é, o comprimento passa de
para
com
proporcional a
e a
.
Observação: aqui
é o comprimento à temperatura inicial
; para pequenas
essa expressão em primeira ordem é suficiente.
Passo 4
Escrever o período após a variação de temperatura.
- Depois da variação térmica o novo comprimento é
. O novo período vale
Queremos a relação entre
e
(e depois substituir
por
).
Passo 5
Linearização usando expansão para pequenas variações.
- Para pequenas
(ou seja, ) podemos usar a aproximação de primeira ordem da raiz quadrada:
Aqui tome
. Então
Passo 6
Encontrar
em termos de
.
- Multiplicando por
e lembrando que , obtemos
- Subtraindo
de ambos os lados:
Comentário: essa é a relação diferencial/taylor de primeira ordem entre
e
; também se pode derivar explicitamente
.
Passo 7
Substituir a variação de comprimento por dilatação térmica.
- Usando
do passo 3, temos
- Substituindo na expressão de
do passo 6:
Passo 8
Interpretação, condições de validade e encorajamento.
- Resultado alcançado exatamente igual ao pedido:
- Validade: a aproximação é válida para pequenas variações de temperatura (tal que
) e quando a massa da haste é de fato desprezível e o disco pode ser tratado como concentrado a distância . Se a haste tivesse massa comparável ou o disco tivesse raio grande, termos adicionais (momento de inércia do disco, mudança no posicionamento do centro de massa) entrariam, mas a ideia básica e o fator vindo da raiz quadrada persistiriam na forma geral.
Força aí, você já consegue aplicar isso numa prova: reconhece a dependência
, usa
e faz a linearização.