1.9- O pêndulo de um relógio consiste de uma haste metálica pivotada em uma extremidade com um disco acoplado na outra extremidade.
A massa da haste é desprezível em comparação à massa do disco. O período do pêndulo à temperatura T é \tau.
Mostre que a variação \Delta \tau do período do pêndulo devida à variação \Delta T da temperatura é aproximadamente dada por
\Delta \tau \approx \frac{1}{2} \tau \alpha \Delta T .
onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear térmica da haste.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Informação: o pêndulo é formado por uma haste metálica (massa desprezível) e um disco na outra extremidade. A distância do pivô ao centro do disco é L.
  • Informação: a massa do disco domina, então podemos tratar a massa concentrada no centro do disco (ou seja, o pêndulo comporta-se como se a massa estivesse a uma distância L do pivô).
  • Informação: o período do pêndulo à temperatura T é \tau.
  • Informação: a haste sofre dilatação linear com coeficiente \alpha.
  • Pedido: mostrar que, para uma pequena variação de temperatura \Delta T, a variação do período \Delta \tau é aproximadamente
\Delta \tau \approx \tfrac{1}{2}\,\tau\,\alpha\,\Delta T.
O que vamos usar: fórmula do período para um pêndulo cujo comprimento (distância massa‑pivô) é L, e a relação entre variação de comprimento e temperatura dada por \alpha.

Passo 2

Modelo físico e justificativa da aproximação simples.
  • Para um pêndulo onde a haste tem massa desprezível e toda a massa está concentrada a uma distância L do pivô (caso aqui, massa do disco concentrada no seu centro), o período para pequenas oscilações tem a mesma forma do pêndulo simples:
\tau = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}},
onde:
  • \tau é o período,
  • L é a distância do pivô ao centro de massa (aqui aproximadamente a distância até o centro do disco),
  • g é a aceleração da gravidade.
Explicação didática: essa fórmula vem do equilíbrio entre torque restaurador \approx -m g \theta L e momento de inércia I \approx m L^2 para pequenas oscilações; resolvendo a equação de movimento obtém‑se a frequência \omega = \sqrt{g/L} e daí \tau = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{L/g}. Não é preciso detalhar mais para este problema porque a massa da haste é desprezível e o disco é pequeno comparado a L.

Passo 3

Como a temperatura altera o comprimento: definição de dilatação linear.
  • O coeficiente de dilatação linear \alpha significa que, para uma pequena variação de temperatura \Delta T, o comprimento muda aproximadamente segundo
\Delta L \approx \alpha\,L\,\Delta T.
Isto é, o comprimento passa de L para L+\Delta L com \Delta L proporcional a L e a \Delta T.
Observação: aqui L é o comprimento à temperatura inicial T; para pequenas \Delta T essa expressão em primeira ordem é suficiente.

Passo 4

Escrever o período após a variação de temperatura.
  • Depois da variação térmica o novo comprimento é L+\Delta L. O novo período \tau+\Delta\tau vale
\tau+\Delta\tau = 2\pi\sqrt{\dfrac{L+\Delta L}{g}}.
Queremos a relação entre \Delta\tau e \Delta L (e depois substituir \Delta L por \alpha L\Delta T).

Passo 5

Linearização usando expansão para pequenas variações.
  • Para pequenas \Delta L (ou seja, \Delta L/L\ll 1) podemos usar a aproximação de primeira ordem da raiz quadrada:
\sqrt{1+x}\approx 1+\tfrac{1}{2}x\quad\text{para }|x|\ll1.
Aqui tome x=\dfrac{\Delta L}{L}. Então
\sqrt{\dfrac{L+\Delta L}{g}}=\sqrt{\dfrac{L}{g}}\sqrt{1+\dfrac{\Delta L}{L}} \approx \sqrt{\dfrac{L}{g}}\left(1+\tfrac{1}{2}\dfrac{\Delta L}{L}\right).

Passo 6

Encontrar \Delta\tau em termos de \Delta L.
  • Multiplicando por 2\pi e lembrando que 2\pi\sqrt{L/g}=\tau, obtemos
\tau+\Delta\tau \approx \tau\left(1+\tfrac{1}{2}\dfrac{\Delta L}{L}\right).
  • Subtraindo \tau de ambos os lados:
\Delta\tau \approx \tfrac{1}{2}\,\tau\,\dfrac{\Delta L}{L}.
Comentário: essa é a relação diferencial/taylor de primeira ordem entre \tau e L; também se pode derivar explicitamente d\tau/dL=\tfrac{1}{2}\tau/L.

Passo 7

Substituir a variação de comprimento por dilatação térmica.
  • Usando \Delta L \approx \alpha\,L\,\Delta T do passo 3, temos
\dfrac{\Delta L}{L}\approx \alpha\,\Delta T.
  • Substituindo na expressão de \Delta\tau do passo 6:
\Delta\tau \approx \tfrac{1}{2}\,\tau\,\alpha\,\Delta T.

Passo 8

Interpretação, condições de validade e encorajamento.
  • Resultado alcançado exatamente igual ao pedido:
\Delta\tau \approx \tfrac{1}{2}\,\tau\,\alpha\,\Delta T.
  • Validade: a aproximação é válida para pequenas variações de temperatura (tal que \alpha\Delta T\ll1) e quando a massa da haste é de fato desprezível e o disco pode ser tratado como concentrado a distância L. Se a haste tivesse massa comparável ou o disco tivesse raio grande, termos adicionais (momento de inércia do disco, mudança no posicionamento do centro de massa) entrariam, mas a ideia básica e o fator 1/2 vindo da raiz quadrada persistiriam na forma geral.
Força aí, você já consegue aplicar isso numa prova: reconhece a dependência \tau\propto\sqrt{L}, usa \Delta L/L=\alpha\Delta T e faz a linearização.

Resposta

\Delta \tau \approx \tfrac{1}{2}\,\tau\,\alpha\,\Delta T.

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