Dois cilindros infinitos estão dispostos de forma que seus eixos coincidem. O potencial no cilindro de raio menor
vale
, enquanto o potencial no cilindro externo, de raio
, está fixo em
. Utilize a equação de Laplace.
a) Qual é o potencial na região entre os dois cilindros?
b) Qual o potencial na região externa ao cilindro (
)?
a) Qual é o potencial na região entre os dois cilindros?
b) Qual o potencial na região externa ao cilindro (
Passo 1
O enunciado dá dois cilindros coaxiais infinitos (mesmo eixo). As informações fornecidas são:
- O cilindro interno tem raio
e potencial fixo . - O cilindro externo tem raio
e potencial fixo .
As perguntas são: - (a) Determinar o potencial elétrico na região entre os dois cilindros, isto é para
. - (b) Determinar o potencial elétrico na região externa ao cilindro, isto é para
.
Passo 2
Vamos escrever a equação que governa o potencial em regiões sem carga: a equação de Laplace. Em coordenadas cilíndricas
a equação de Laplace para o potencial
é, em forma geral,
Agora pense no problema fisicamente: os cilindros são infinitos e coaxiais e os potenciais são constantes ao longo dos eixos e ao redor (não dependem de
nem de
). Portanto o potencial é função apenas de
, isto é
. Isso simplifica a equação de Laplace (todas as derivadas em
e
desaparecem) para a forma radial:
Vou explicar essa equação: ela diz que o fluxo do gradiente radial multiplicado por
é constante no espaço sem cargas; é a versão cilíndrica da Laplace para simetria radial.
Passo 3
Agora resolvemos a equação ordinária
Multiplicando por
obtemos
Isto significa que a função dentro da derivada é uma constante. Chamemos essa constante de
:
Agora isolamos
:
Integramos em
. A integral de
é o logaritmo natural, então obtemos a forma geral do potencial:
onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições de contorno (valores nos cilindros).
Passo 4
Primeiro tratamos a região entre os cilindros,
. Aplicamos as condições de contorno:
Usando a forma geral
, avaliamos em
e
:
Subtraindo a segunda da primeira para eliminar
:
Como
, temos
Agora podemos achar
. Usando
:
Substituindo
e
de volta em
fica mais elegante reescrever deslocando o logaritmo em relação a
:
Substituindo
:
Essa expressão é intuitiva: o potencial varia linearmente com
entre os dois cilindros, e em
e
recupera
e
respectivamente. (Pode-se verificar isso fazendo
e
.)
Passo 5
Agora tratamos a região externa
. A solução geral da equação de Laplace ainda é
com constantes
(usei novas letras para não confundir com as anteriores). A condição de contorno disponível na fronteira é
. Para determinar ambas as constantes precisaria de outra condição em
. Fisicamente normalmente impõe-se que o potencial permaneça finito (ou tende a algum valor finito) quando
. Note que
diverge quando
. Para que
não diverja é necessário que o coeficiente do logaritmo seja zero, isto é
. Assim, com a exigência de potencial finito no infinito, obtemos:
Impondo
resulta
. Portanto, com a condição física de potencial finito no infinito:
Passo 6
Resumo e observação adicional (caso alguém não imponha finitude no infinito): a solução geral fora do cilindro é
. Se não houver nenhuma condição na infinidade, o termo logarítmico está permitido e o potencial fora seria
com
arbitrário determinado por condições externas (por exemplo presença de outras condutas ou de carga total não nula). Mas, para o problema padrão onde se exige potencial finito quando
, necessariamente
e o potencial fora é simplesmente
.