Dois cilindros infinitos estão dispostos de forma que seus eixos coincidem. O potencial no cilindro de raio menor R_{a} vale V_{a}, enquanto o potencial no cilindro externo, de raio R_{b}, está fixo em V_{b}. Utilize a equação de Laplace.
a) Qual é o potencial na região entre os dois cilindros?
b) Qual o potencial na região externa ao cilindro ( r>R_{b} )?

Passo 1

O enunciado dá dois cilindros coaxiais infinitos (mesmo eixo). As informações fornecidas são:
  • O cilindro interno tem raio R_a e potencial fixo V_a.
  • O cilindro externo tem raio R_b e potencial fixo V_b.
    As perguntas são:
  • (a) Determinar o potencial elétrico na região entre os dois cilindros, isto é para R_a \le r \le R_b.
  • (b) Determinar o potencial elétrico na região externa ao cilindro, isto é para r>R_b.

Passo 2

Vamos escrever a equação que governa o potencial em regiões sem carga: a equação de Laplace. Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) a equação de Laplace para o potencial V(r,\theta,z) é, em forma geral,
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial V}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}V}{\partial \theta^{2}} +\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}=0.
Agora pense no problema fisicamente: os cilindros são infinitos e coaxiais e os potenciais são constantes ao longo dos eixos e ao redor (não dependem de \theta nem de z). Portanto o potencial é função apenas de r, isto é V=V(r). Isso simplifica a equação de Laplace (todas as derivadas em \theta e z desaparecem) para a forma radial:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dV}{dr}\right)=0.
Vou explicar essa equação: ela diz que o fluxo do gradiente radial multiplicado por r é constante no espaço sem cargas; é a versão cilíndrica da Laplace para simetria radial.

Passo 3

Agora resolvemos a equação ordinária
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dV}{dr}\right)=0.
Multiplicando por r obtemos
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dV}{dr}\right)=0.
Isto significa que a função dentro da derivada é uma constante. Chamemos essa constante de C_1:
r\frac{dV}{dr}=C_1.
Agora isolamos \dfrac{dV}{dr}:
\frac{dV}{dr}=\frac{C_1}{r}.
Integramos em r. A integral de 1/r é o logaritmo natural, então obtemos a forma geral do potencial:
V(r)=C_1\ln r + C_2,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições de contorno (valores nos cilindros).

Passo 4

Primeiro tratamos a região entre os cilindros, R_a \le r \le R_b. Aplicamos as condições de contorno:
V(R_a)=V_a,\qquad V(R_b)=V_b.
Usando a forma geral V(r)=C_1\ln r + C_2, avaliamos em r=R_a e r=R_b:
C_1\ln R_a + C_2 = V_a,
C_1\ln R_b + C_2 = V_b.
Subtraindo a segunda da primeira para eliminar C_2:
C_1(\ln R_a - \ln R_b)=V_a - V_b.
Como \ln R_a - \ln R_b=\ln\!\left(\dfrac{R_a}{R_b}\right), temos
C_1=\frac{V_a-V_b}{\ln\!\left(\dfrac{R_a}{R_b}\right)}.
Agora podemos achar C_2. Usando V(R_b)=V_b:
C_2 = V_b - C_1\ln R_b.
Substituindo C_1 e C_2 de volta em V(r)=C_1\ln r + C_2 fica mais elegante reescrever deslocando o logaritmo em relação a R_b:
V(r)=V_b + C_1\ln\!\left(\frac{r}{R_b}\right).
Substituindo C_1:
V(r)=V_b + \frac{V_a-V_b}{\ln\!\left(\dfrac{R_a}{R_b}\right)}\ln\!\left(\frac{r}{R_b}\right), \qquad R_a\le r\le R_b.
Essa expressão é intuitiva: o potencial varia linearmente com \ln r entre os dois cilindros, e em r=R_a e r=R_b recupera V_a e V_b respectivamente. (Pode-se verificar isso fazendo r=R_a e r=R_b.)

Passo 5

Agora tratamos a região externa r>R_b. A solução geral da equação de Laplace ainda é
V(r)=A\ln r + B,
com constantes A,B (usei novas letras para não confundir com as anteriores). A condição de contorno disponível na fronteira é V(R_b)=V_b. Para determinar ambas as constantes precisaria de outra condição em r\to\infty. Fisicamente normalmente impõe-se que o potencial permaneça finito (ou tende a algum valor finito) quando r\to\infty. Note que \ln r diverge quando r\to\infty. Para que V(r) não diverja é necessário que o coeficiente do logaritmo seja zero, isto é A=0. Assim, com a exigência de potencial finito no infinito, obtemos:
V(r)=B \quad\text{(constante)}.
Impondo V(R_b)=V_b resulta B=V_b. Portanto, com a condição física de potencial finito no infinito:
V(r)=V_b,\qquad r\ge R_b.

Passo 6

Resumo e observação adicional (caso alguém não imponha finitude no infinito): a solução geral fora do cilindro é V(r)=A\ln r + B. Se não houver nenhuma condição na infinidade, o termo logarítmico está permitido e o potencial fora seria
V(r)=V_b + A\ln\!\left(\frac{r}{R_b}\right),\qquad r\ge R_b,
com A arbitrário determinado por condições externas (por exemplo presença de outras condutas ou de carga total não nula). Mas, para o problema padrão onde se exige potencial finito quando r\to\infty, necessariamente A=0 e o potencial fora é simplesmente V_b.

Resposta

\text{(a)}\quad V(r)=V_b+\frac{V_a-V_b}{\ln\!\left(\dfrac{R_a}{R_b}\right)}\ln\!\left(\dfrac{r}{R_b}\right), \qquad R_a\le r\le R_b.
\text{(b)}\quad V(r)=V_b,\qquad r\ge R_b.

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