Um pêndulo simples, com amortecimento fraco, é formado por um fio de comprimento
e uma massa igual a
. No instante inicial o corpo esta passando na origem com velocidade linear de
.
a)
Sabendo que
de sua energia é perdida no primeiro ciclo, qual é o fator de amortecimento,
?
b)
quantos ciclos o sistema perde
de sua energia inicial?
c)
De quanto se reduz a amplitude quando o sistema perde
de sua energia inicial?
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um pêndulo com amortecimento fraco. A gente vai precisar usar conceitos de energia em sistemas oscilatórios e como o amortecimento afeta essa energia ao longo dos ciclos. Vamos seguir passo a passo para encontrar o fator de amortecimento, quantos ciclos são necessários para perder 80% da energia inicial e como a amplitude é reduzida nesse processo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia inicial do pêndulo. A energia cinética inicial é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 3
Sabemos que no primeiro ciclo, a energia perdida é de
. Isso representa uma porcentagem da energia inicial:
Passo 4
Para encontrar o fator de amortecimento
, usamos a relação da perda de energia por ciclo em sistemas amortecidos:
Onde
é a frequência angular do pêndulo não amortecido:
Considerando
e
:
Passo 5
Agora, rearranjamos a fórmula para encontrar
:
Substituindo os valores:
Resposta
O fator de amortecimento
é aproximadamente
.