Um pêndulo simples, com amortecimento fraco, é formado por um fio de comprimento L= 1,00 m e uma massa igual a 1,00 kg. No instante inicial o corpo esta passando na origem com velocidade linear de 0,50 m / s.
a) (1,0) Sabendo que 0,01 J de sua energia é perdida no primeiro ciclo, qual é o fator de amortecimento, gamma ?
b) (1,0) Em quantos ciclos o sistema perde 80 % de sua energia inicial?
c) (0,5) De quanto se reduz a amplitude quando o sistema perde 80 % de sua energia inicial?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um pêndulo com amortecimento fraco. A gente vai precisar usar conceitos de energia em sistemas oscilatórios e como o amortecimento afeta essa energia ao longo dos ciclos. Vamos seguir passo a passo para encontrar o fator de amortecimento, quantos ciclos são necessários para perder 80% da energia inicial e como a amplitude é reduzida nesse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia inicial do pêndulo. A energia cinética inicial é dada por:
E0 = 12 m v0^2
Substituindo os valores:
E0 = 12 times 1,00, kg times (0,50, m/s)^2 = 0,125, J

Passo 3

Sabemos que no primeiro ciclo, a energia perdida é de 0,01, J. Isso representa uma porcentagem da energia inicial:
De<a EE0 = 0,01, J0,125, J = 0,08 ou 8%

Passo 4

Para encontrar o fator de amortecimento gamma, usamos a relação da perda de energia por ciclo em sistemas amortecidos:
De<a EE = 2pi gamma 1omega0
Onde omega0 é a frequência angular do pêndulo não amortecido:
omega0 = raizgL
Considerando g = 9,81, m/s^2 e L = 1,00, m:
omega0 = raiz9,811,00 = 3,13, rad/s

Passo 5

Agora, rearranjamos a fórmula para encontrar gamma:
gamma = De<a E2pi E times omega0
Substituindo os valores:
gamma = 0,012pi times 0,125 times 3,13 approx 0,010,785 times 3,13 approx 0,0127, s^-1

Resposta

O fator de amortecimento gamma é aproximadamente 0,0127, s^-1.

Exercícios relacionados