Um oscilador forçado com amortecimento está submetido a uma força externa dada por
. A freqüência natural do oscilador é
e a massa da particula é
. O fator de amortecimento é igual a
.
a)
Calcule a amplitude e a fase, e escreva a função da posição
para o oscilador.
b)
Calcule a amplitude máxima, a amplitude de baixas frequências (
), a meia largura e o fator de qualidade na ressonância.
c)
Esboce o gráfico de ressonância para este sistema (a frequência da força externa agora varia), em escala, indicando a amplitude máxima, a amplitude de baixas frequências
, a meia largura e a frequência de ressonância.
a)
b)
c)
Passo 1
Resumo do Enunciado: Temos um oscilador forçado com amortecimento submetido a uma força externa dada por
. A frequência natural do oscilador é
, a massa da partícula é
e o fator de amortecimento é
.
Conteúdo da Matéria: O exercício está relacionado ao movimento harmônico forçado com amortecimento, onde precisamos calcular a amplitude, a fase e a função de posição do oscilador.
O que vamos precisar: Para resolver, vamos utilizar as fórmulas do movimento harmônico forçado com amortecimento, entender conceitos de ressonância e aplicar cálculos básicos de física envolvendo frequências e amplitudes.
Passo 2
Equação do Movimento: A equação diferencial que descreve o movimento de um oscilador harmônico forçado com amortecimento é:
onde:
-
é a massa, -
é o fator de amortecimento, -
é a constante elástica, -
é a força externa aplicada.
Objetivo: Encontrar a amplitude
e a fase
da oscilação, além de expressar a função de posição
.
Passo 3
Frequência Natural: Primeiro, precisamos encontrar a constante elástica
usando a frequência natural
:
Substituindo os valores:
Passo 4
Amplitude
da Oscilação Forçada: A amplitude
pode ser calculada pela fórmula:
onde:
-
é a amplitude da força externa, -
é a frequência da força externa.
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituindo de volta:
Passo 5
Fase
: A fase pode ser calculada pela relação:
Substituindo os valores:
Calculando
:
Passo 6
Função de Posição
: Com a amplitude e a fase encontradas, a função de posição do oscilador é dada por:
Substituindo os valores:
Resposta
A amplitude do oscilador é aproximadamente 0,0131 metros, a fase é de aproximadamente 84,6 graus, e a função da posição é: