Um oscilador forçado com amortecimento está submetido a uma força externa dada por F(t)=0,5^* cos (19 t) N. A freqüência natural do oscilador é omega0=20,0 rad / s e a massa da particula é m=0,10 kg. O fator de amortecimento é igual a gamma=2,00 rad / s.
a) (0,8) Calcule a amplitude e a fase, e escreva a função da posição x(t) para o oscilador.
b) (0,8) Calcule a amplitude máxima, a amplitude de baixas frequências ( omega 0 ), a meia largura e o fator de qualidade na ressonância.
c) (0,9) Esboce o gráfico de ressonância para este sistema (a frequência da força externa agora varia), em escala, indicando a amplitude máxima, a amplitude de baixas frequências (omega 0), a meia largura e a frequência de ressonância.

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos um oscilador forçado com amortecimento submetido a uma força externa dada por F(t) = 0,5 cdot cos(19 t) , N . A frequência natural do oscilador é omega0 = 20,0 , rad/s , a massa da partícula é m = 0,10 , kg e o fator de amortecimento é gamma = 2,00 , rad/s .
Conteúdo da Matéria: O exercício está relacionado ao movimento harmônico forçado com amortecimento, onde precisamos calcular a amplitude, a fase e a função de posição do oscilador.
O que vamos precisar: Para resolver, vamos utilizar as fórmulas do movimento harmônico forçado com amortecimento, entender conceitos de ressonância e aplicar cálculos básicos de física envolvendo frequências e amplitudes.

Passo 2

Equação do Movimento: A equação diferencial que descreve o movimento de um oscilador harmônico forçado com amortecimento é:
m d^2xdt^2 + gamma dxdt + k x = F(t)
onde:
  • m é a massa,
  • gamma é o fator de amortecimento,
  • k é a constante elástica,
  • F(t) é a força externa aplicada.
Objetivo: Encontrar a amplitude A e a fase phi da oscilação, além de expressar a função de posição x(t) .

Passo 3

Frequência Natural: Primeiro, precisamos encontrar a constante elástica k usando a frequência natural omega0 :
omega0 = raizkm Rightarrow k = m omega0^2
Substituindo os valores:
k = 0,10 , kg times (20,0 , rad/s)^2 = 0,10 times 400 = 40 , N/m

Passo 4

Amplitude A da Oscilação Forçada: A amplitude A pode ser calculada pela fórmula:
A = F0raiz(k - m omega^2)^2 + (gamma omega)^2
onde:
  • F0 = 0,5 , N é a amplitude da força externa,
  • omega = 19 , rad/s é a frequência da força externa.
Substituindo os valores:
A = 0,5raiz(40 - 0,10 times 19^2)^2 + (2,00 times 19)^2
Primeiro, calculamos m omega^2 :
0,10 times 19^2 = 0,10 times 361 = 36,1 , N/m
Agora, substituindo de volta:
A = 0,5raiz(40 - 36,1)^2 + (38)^2 = 0,5raiz3,9^2 + 38^2 = 0,5raiz15,21 + 1444 = 0,5raiz1459,21 approx 0,538,19 approx 0,0131 , m

Passo 5

Fase phi : A fase pode ser calculada pela relação:
tan phi = gamma omegak - m omega^2
Substituindo os valores:
tan phi = 2,00 times 1940 - 36,1 = 383,9 approx 9,74
Calculando phi :
phi = arctan(9,74) approx 84,6^circ

Passo 6

Função de Posição x(t) : Com a amplitude e a fase encontradas, a função de posição do oscilador é dada por:
x(t) = A cdot cos(omega t - phi)
Substituindo os valores:
x(t) = 0,0131 cdot cos(19 t - 84,6^circ)

Resposta

A amplitude do oscilador é aproximadamente 0,0131 metros, a fase é de aproximadamente 84,6 graus, e a função da posição é:
x(t) = 0,0131 cdot cos(19 t - 84,6^circ)

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