Um disco de massa
e raio
é fixado a uma barra, a
de sua extremidade. O comprimento da barra é Le sua massa
. A barra esta suspensa em um ponto com distância
em relação ao centro de massa da barra e pode oscilar livremente. a)
Encontre o torque restaurador, quando 0 oscilador é levemente deslocado de sua posição de equilibrio.
b)
Prove que o sistema apresenta MHS e calcule a frequência de oscilação
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco de massa
e raio
fixado a uma barra de comprimento
e massa
. A barra está suspensa em um ponto que está a
do centro de massa da barra e pode oscilar livremente. Precisamos encontrar:
a) O torque restaurador quando a barra é levemente deslocada da posição de equilíbrio.
b) Mostrar que o sistema realiza Movimento Harmônico Simples (MHS) e calcular a frequência de oscilação .
a) O torque restaurador quando a barra é levemente deslocada da posição de equilíbrio.
b) Mostrar que o sistema realiza Movimento Harmônico Simples (MHS) e calcular a frequência de oscilação
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de torque, centro de massa, momento de inércia e movimento harmônico simples.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro de massa da barra. Como a barra é homogênea, o centro de massa está no meio dela, ou seja, a
do extremo. Mas a barra está suspensa a uma distância
do seu centro de massa, o que significa que o ponto de suspensão está deslocado.
Passo 3
Quando a barra é deslocada levemente, a força gravitacional age no centro de massa, criando um torque que tenta restaurar a barra à posição de equilíbrio. O torque (
) pode ser calculado pela fórmula:
onde:
-
é a massa da barra, -
é a aceleração da gravidade, -
é a distância do ponto de suspensão ao centro de massa, -
é o ângulo de deslocamento.
Passo 4
Esse torque é o torque restaurador que buscamos na parte a). Então, já temos a expressão para o torque restaurador:
Isso responde a letra a).
Passo 5
Agora, para a parte b), precisamos provar que o sistema realiza Movimento Harmônico Simples (MHS) e encontrar a frequência
.
Sabemos que para um sistema realizar MHS, a segunda lei de Newton para rotações nos dá:
onde:
-
é o momento de inércia do sistema, -
é a aceleração angular.
No MHS,
, então:
Passo 6
Comparando com a expressão do torque restaurador:
Podemos cancelar o
dos dois lados:
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Agora, precisamos calcular o momento de inércia
do sistema. O sistema consiste na barra e no disco. Assumindo que o disco está localizado no final da barra, temos:
Para uma barra pivotada a uma distância
do centro de massa, o momento de inércia é:
E para o disco:
(Note que a distância adicional consideraria a posição do disco na barra, mas isso pode variar dependendo do enunciado exato.)
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Passo 10
Essa é a expressão da frequência angular
para o sistema, mostrando que ele realiza Movimento Harmônico Simples.
Resposta
a) O torque restaurador é
.
b) O sistema realiza Movimento Harmônico Simples e a frequência de oscilação é