Um disco de massa M e raio R é fixado a uma barra, a
1 / 4 de sua extremidade. O comprimento da barra é Le sua massa m. A barra esta suspensa em um ponto com distância D=L / 4 em relação ao centro de massa da barra e pode oscilar livremente. a) (1,0) Encontre o torque restaurador, quando 0 oscilador é levemente deslocado de sua posição de equilibrio.
b) (1,5) Prove que o sistema apresenta MHS e calcule a frequência de oscilação omega.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco de massa M e raio R fixado a uma barra de comprimento L e massa m . A barra está suspensa em um ponto que está a D = L4 do centro de massa da barra e pode oscilar livremente. Precisamos encontrar:
a) O torque restaurador quando a barra é levemente deslocada da posição de equilíbrio.
b) Mostrar que o sistema realiza Movimento Harmônico Simples (MHS) e calcular a frequência de oscilação omega .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de torque, centro de massa, momento de inércia e movimento harmônico simples.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro de massa da barra. Como a barra é homogênea, o centro de massa está no meio dela, ou seja, a L2 do extremo. Mas a barra está suspensa a uma distância D = L4 do seu centro de massa, o que significa que o ponto de suspensão está deslocado.

Passo 3

Quando a barra é deslocada levemente, a força gravitacional age no centro de massa, criando um torque que tenta restaurar a barra à posição de equilíbrio. O torque ( tau ) pode ser calculado pela fórmula:
tau = -m g D theta
onde:
  • m é a massa da barra,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • D é a distância do ponto de suspensão ao centro de massa,
  • theta é o ângulo de deslocamento.

Passo 4

Esse torque é o torque restaurador que buscamos na parte a). Então, já temos a expressão para o torque restaurador:
tau = -m g D theta
Isso responde a letra a).

Passo 5

Agora, para a parte b), precisamos provar que o sistema realiza Movimento Harmônico Simples (MHS) e encontrar a frequência omega .
Sabemos que para um sistema realizar MHS, a segunda lei de Newton para rotações nos dá:
tau = I alpha
onde:
  • I é o momento de inércia do sistema,
  • alpha é a aceleração angular.
No MHS, alpha = -omega^2 theta , então:
tau = -I omega^2 theta

Passo 6

Comparando com a expressão do torque restaurador:
-m g D theta = -I omega^2 theta
Podemos cancelar o -theta dos dois lados:
m g D = I omega^2

Passo 7

Isolando omega :
omega = raizm g DI

Passo 8

Agora, precisamos calcular o momento de inércia I do sistema. O sistema consiste na barra e no disco. Assumindo que o disco está localizado no final da barra, temos:
I = Ibarra + Idisco
Para uma barra pivotada a uma distância D do centro de massa, o momento de inércia é:
Ibarra = 112 m L^2 + m D^2
E para o disco:
Idisco = 12 M R^2 + M (D + 3L4)^2
(Note que a distância adicional consideraria a posição do disco na barra, mas isso pode variar dependendo do enunciado exato.)

Passo 9

Substituindo I na expressão de omega :
omega = raizm g D112 m L^2 + m D^2 + 12 M R^2 + M (D + 3L4)^2

Passo 10

Essa é a expressão da frequência angular omega para o sistema, mostrando que ele realiza Movimento Harmônico Simples.

Resposta

a) O torque restaurador é tau = -m g D theta .
b) O sistema realiza Movimento Harmônico Simples e a frequência de oscilação é
omega = raizm g D112 m L^2 + m D^2 + 12 M R^2 + M (D + 3L4)^2

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