Um pêndulo simples de comprimento 1 metro completa 100 oscilações em 204 segundos. Qual é o valor da aceleração da gravidade na localização do pêndulo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Comprimento do pêndulo: L=1\\ \text{m}.
  • O pêndulo completa 100 oscilações em 204\\ \text{s}.
  • Pergunta: qual é o valor da aceleração da gravidade g no local do pêndulo?

Passo 2

Primeiro, vamos definir e calcular o período de uma oscilação. O período T é o tempo que o pêndulo leva para fazer uma oscilação completa. Se N oscilações levam tempo t_{\text{total}}, então
T=\frac{t_{\text{total}}}{N}.
Substituindo os dados do enunciado:
T=\frac{204}{100}=2,04\\ \text{s}.
Explicação rápida: T tem unidade de segundos porque é tempo dividido por um número adimensional de oscilações.

Passo 3

Agora precisamos da relação entre T, L e g para um pêndulo simples. Para pequenas oscilações (ângulos pequenos) a equação de movimento se aproxima de um movimento harmônico simples e o período é dado por
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
O que isso significa:
  • T é o período (s).
  • L é o comprimento do pêndulo (m).
  • g é a aceleração da gravidade (m/s ^2).
    Breve justificativa (sem jargões): a força restauradora é aproximadamente proporcional ao deslocamento angular quando o ângulo é pequeno ( \sin\theta\approx\theta), o que leva a uma equação do tipo \ddot\theta + (g/L)\theta=0. A solução periódica dessa equação tem período 2\pi\sqrt{L/g}. Em provas normalmente você pode usar essa fórmula diretamente, lembrando da hipótese de ângulos pequenos.

Passo 4

Vamos isolar g na fórmula para poder calcular seu valor a partir de T e L. Partimos de
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Elevando ao quadrado ambos os lados:
T^2=(2\pi)^2\frac{L}{g}=4\pi^2\frac{L}{g}.
Isolando g:
g=\frac{4\pi^2 L}{T^2}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos: L=1\\ \text{m} e T=2,04\\ \text{s}. Primeiro calculamos T^2:
T^2=(2,04)^2=4,1616\\ \text{s}^2.
Em seguida usamos \pi\approx3,14159265, logo \pi^2\approx9,8696 e
4\pi^2\approx 39,4784.
Portanto
g=\frac{39,4784\times 1}{4,1616}\approx 9,486\\ \text{m/s}^2.
Arredondando de forma prática (os dados têm poucas cifras significativas), podemos apresentar
g\approx 9,49\\ \text{m/s}^2.

Passo 6

Checagem de plausibilidade e comentários: um valor típico de g na superfície da Terra é cerca de 9,81\\ \text{m/s}^2. Nosso resultado 9,49\\ \text{m/s}^2 é um pouco menor — isso pode ocorrer por pequenas imprecisões na medida do tempo, pelo ângulo de oscilações não ser tão pequeno (viola um pouco a aproximação \sin\theta\approx\theta), resistência do ar, ou simplesmente arredondamento. Em prova, mostrar a fórmula, a substituição e um comentário sobre a hipótese de pequenas oscilações normalmente basta.

Resposta

9,49\\ \text{m/s}^2

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