Um pêndulo simples de comprimento 1 metro completa 100 oscilações em 204 segundos. Qual é o valor da aceleração da gravidade na localização do pêndulo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Comprimento do pêndulo:
. - O pêndulo completa
oscilações em . - Pergunta: qual é o valor da aceleração da gravidade
no local do pêndulo?
Passo 2
Primeiro, vamos definir e calcular o período de uma oscilação. O período
é o tempo que o pêndulo leva para fazer uma oscilação completa. Se
oscilações levam tempo
, então
Substituindo os dados do enunciado:
Explicação rápida:
tem unidade de segundos porque é tempo dividido por um número adimensional de oscilações.
Passo 3
Agora precisamos da relação entre
,
e
para um pêndulo simples. Para pequenas oscilações (ângulos pequenos) a equação de movimento se aproxima de um movimento harmônico simples e o período é dado por
O que isso significa:
-
é o período (s). -
é o comprimento do pêndulo (m). -
é a aceleração da gravidade (m/s ).
Breve justificativa (sem jargões): a força restauradora é aproximadamente proporcional ao deslocamento angular quando o ângulo é pequeno (), o que leva a uma equação do tipo . A solução periódica dessa equação tem período . Em provas normalmente você pode usar essa fórmula diretamente, lembrando da hipótese de ângulos pequenos.
Passo 4
Vamos isolar
na fórmula para poder calcular seu valor a partir de
e
. Partimos de
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Isolando
:
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos:
e
. Primeiro calculamos
:
Em seguida usamos
, logo
e
Portanto
Arredondando de forma prática (os dados têm poucas cifras significativas), podemos apresentar
Passo 6
Checagem de plausibilidade e comentários: um valor típico de
na superfície da Terra é cerca de
. Nosso resultado
é um pouco menor — isso pode ocorrer por pequenas imprecisões na medida do tempo, pelo ângulo de oscilações não ser tão pequeno (viola um pouco a aproximação
), resistência do ar, ou simplesmente arredondamento. Em prova, mostrar a fórmula, a substituição e um comentário sobre a hipótese de pequenas oscilações normalmente basta.