Um pêndulo simples de massa m e comprimento / é solto de uma posição tal que sua corda faz um ângulo theta com a vertical. (a) Qual a sua energia potencial em relação ao ponto mais baixo de sua trajetória? (b) Qual a sua energia potencial relativa ao ponto de que foi solto? © Qual a sua energia cinética ao chegar no ponto mais baixo da trajetória?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre pêndulo simples! A gente tem um pêndulo com massa $ m $ e comprimento $ L $, que é solto de uma posição onde a corda faz um ângulo $ \theta $ com a vertical. Vamos calcular:
a) A energia potencial em relação ao ponto mais baixo da trajetória.
b) A energia potencial em relação ao ponto de onde foi solto.
c) A energia cinética quando chega no ponto mais baixo.
Para isso, vamos usar conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética em movimentos oscilatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é energia potencial gravitacional. Ela depende da altura relativa a um ponto de referência. A fórmula é:
U = mgh
Onde:
  • $ U $ é a energia potencial,
  • $ m $ é a massa,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ h $ é a altura em relação ao ponto de referência.

Passo 3

No item (a), queremos a energia potencial em relação ao ponto mais baixo da trajetória. Vamos determinar essa altura $ h $.
Quando o pêndulo está no ponto mais baixo, consideramos $ h = 0 $. Quando está arrancado fazendo um ângulo $ \theta $, a altura $ h $ pode ser encontrada usando trigonometria.
A diferença de altura entre a posição inicial e o ponto mais baixo é:
h

Passo 4

Agora, substituímos essa altura na fórmula da energia potencial:
U = mgh = mgL(1 - costheta)
Então, a energia potencial relativa ao ponto mais baixo é $ mgL(1 - \cos\theta) $.

Passo 5

No item (b), queremos a energia potencial em relação ao ponto de onde foi solto. Nesse caso, vamos considerar esse ponto como referência, ou seja, $ U = 0 $ nesse ponto.
Quando o pêndulo desce até o ponto mais baixo, ele ganha altura negativa relativa ao ponto de partida. A altura nesse caso é:
U = 0
Então, a energia potencial é:
h = -L(1 - costheta)
Isso indica que a energia potencial no ponto mais baixo é negativa em relação ao ponto de partida.

Passo 6

No item ©, queremos a energia cinética quando o pêndulo chega ao ponto mais baixo. Para isso, usamos a conservação da energia mecânica.
A energia mecânica total no ponto de partida é toda potencial:
Etotal = mgL(1 - costheta)
No ponto mais baixo, toda essa energia se transforma em energia cinética $ K $:
K
Portanto, a energia cinética no ponto mais baixo é $ mgL(1 - \cos\theta) $.

Resposta

a) A energia potencial em relação ao ponto mais baixo é $ U = mgL(1 - \cos\theta) $.
b) A energia potencial em relação ao ponto de onde foi solto é $ U = -mgL(1 - \cos\theta) $.
c) A energia cinética ao chegar no ponto mais baixo da trajetória é $ K = mgL(1 - \cos\theta) $.

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