Uma mola quando comprimida de 0.1 m reage com uma força de 847 N . Nesta mola, está presa, em uma das extremidades, uma massa de 70kg. Este sistema é colocado para oscilar a partir da posição de equilíbrio com elongação de 1,5m. Calcule
d. Escreva as equações da posição, velocidade e aceleração
d. Escreva as equações da posição, velocidade e aceleração
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. Temos uma mola que, quando comprimida 0,1 metros, exerce uma força de 847 N. Nessa mola está presa uma massa de 70 kg. Queremos saber as equações que descrevem a posição, velocidade e aceleração desse sistema quando ele oscila a partir da posição de equilíbrio com uma elongação de 1,5 metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre movimento harmônico simples, que envolve mola, massa e oscilações.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir a constante elástica da mola, que a gente chama de $ k $. Sabemos que a força exercida pela mola é dada pela fórmula de Hooke:
Onde:
- $ F $ é a força da mola (847 N)
- $ x $ é a deformação da mola (0,1 m)
Vamos rearranjar essa fórmula para encontrar $ k $:
Passo 3
Agora que temos a constante da mola, vamos encontrar a frequência angular $ \omega $ do sistema. A frequência angular está relacionada à constante da mola e à massa pela fórmula:
Onde:
- $ k = 8470, N/m $
- $ m = 70, kg $
Substituindo os valores:
Passo 4
Com a frequência angular, podemos escrever a equação da posição $ x(t) $ do sistema. No movimento harmônico simples, a posição em função do tempo é dada por:
Onde:
- $ A $ é a amplitude da oscilação (1,5 m)
- $ \omega $ é a frequência angular (11 rad/s)
- $ \phi $ é a fase inicial. Vamos assumir que $ \phi = 0 $ para simplificar.
Então, a equação fica:
Passo 5
A equação da velocidade $ v(t) $ é a derivada da posição em relação ao tempo. Derivando $ x(t) $:
Substituindo os valores:
Passo 6
Por fim, a equação da aceleração $ a(t) $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição. Derivando $ v(t) $:
Substituindo os valores:
Resposta
As equações do movimento são: