Uma mola quando comprimida de 0.1 m reage com uma força de 847 N . Nesta mola, está presa, em uma das extremidades, uma massa de 70kg. Este sistema é colocado para oscilar a partir da posição de equilíbrio com elongação de 1,5m. Calcule
e. Em quais instantes a velocidade é nula?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma mola comprimida que está ligada a uma massa que oscila. O que a gente precisa descobrir é em que momentos a velocidade dessa massa é zero durante o movimento. Para isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples, que é o tipo de movimento que objetos ligados a molas fazem quando oscillam.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a constante da mola, representada por $ k $. Sabemos que quando a mola é comprimida em 0,1 metros, ela exerce uma força de 847 N. A relação entre força e deformação da mola é dada pela Lei de Hooke:
k
Onde:
  • $ F = 847 , N $
  • $ x = 0,1 , m $
Rearranjando para encontrar $ k $:
F = k cdot x

Passo 3

Agora, vamos calcular a frequência angular $ \omega $ do sistema. A frequência angular está relacionada com a constante da mola $ k $ e a massa $ m $ pela fórmula:
omega
Dados:
  • $ k = 8470 , N/m $
  • $ m = 70 , kg $
Substituindo:
k

Passo 4

Sabemos que no movimento harmônico simples, a posição $ x(t) $ da massa em função do tempo é dada por:
x(t)
E a velocidade $ v(t) $ é a derivada da posição em relação ao tempo:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • $ A = 1,5 , m $ é a amplitude do movimento.
  • $ \phi $ é a fase inicial. Como o movimento começa a partir da posição de equilíbrio com uma elongação, podemos assumir que $ \phi = 0 $.
Então, a equação da velocidade fica:
v(t)

Passo 5

Queremos saber em que instantes a velocidade é zero. Ou seja, queremos encontrar $ t $ tal que:
t
Isso ocorre quando:
v(t) = 0 Rightarrow -16,5 sin(11 t) = 0
Sabemos que o seno é zero em múltiplos de $ \pi $:
sin(11 t) = 0 é
Resolvendo para $ t $:
pi

Resposta

Os instantes em que a velocidade é nula são dados por:
t = n pi11 segundos, onde n é um número inteiro éú

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