Uma mola quando comprimida de 0.1 m reage com uma força de 847 N . Nesta mola, está presa, em uma das extremidades, uma massa de 70kg. Este sistema é colocado para oscilar a partir da posição de equilíbrio com elongação de 1,5m. Calcule
e. Em quais instantes a velocidade é nula?
e. Em quais instantes a velocidade é nula?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma mola comprimida que está ligada a uma massa que oscila. O que a gente precisa descobrir é em que momentos a velocidade dessa massa é zero durante o movimento. Para isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples, que é o tipo de movimento que objetos ligados a molas fazem quando oscillam.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a constante da mola, representada por $ k $. Sabemos que quando a mola é comprimida em 0,1 metros, ela exerce uma força de 847 N. A relação entre força e deformação da mola é dada pela Lei de Hooke:
Onde:
- $ F = 847 , N $
- $ x = 0,1 , m $
Rearranjando para encontrar $ k $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a frequência angular $ \omega $ do sistema. A frequência angular está relacionada com a constante da mola $ k $ e a massa $ m $ pela fórmula:
Dados:
- $ k = 8470 , N/m $
- $ m = 70 , kg $
Substituindo:
Passo 4
Sabemos que no movimento harmônico simples, a posição $ x(t) $ da massa em função do tempo é dada por:
E a velocidade $ v(t) $ é a derivada da posição em relação ao tempo:
Onde:
- $ A = 1,5 , m $ é a amplitude do movimento.
- $ \phi $ é a fase inicial. Como o movimento começa a partir da posição de equilíbrio com uma elongação, podemos assumir que $ \phi = 0 $.
Então, a equação da velocidade fica:
Passo 5
Queremos saber em que instantes a velocidade é zero. Ou seja, queremos encontrar $ t $ tal que:
Isso ocorre quando:
Sabemos que o seno é zero em múltiplos de $ \pi $:
Resolvendo para $ t $:
Resposta
Os instantes em que a velocidade é nula são dados por: