5) Para pensar

(a) Descreva um procedimento para medir a densidade de grãos de areia.
(b) Melhore o modelo geométrico da garrafa levando em consideração que ela tem um tronco de cone na transição entre o corpo e o pescoço.
(c) Melhore a estimativa da quantidade de água que cabe na garrafa com bolinhas levando em consideração o furo nas miçangas.

Passo 1

O enunciado propõe três desafios “para pensar” envolvendo uma garrafa cheia de miçangas e água:
(a) desenvolver um procedimento experimental para medir a densidade dos grãos de areia;
(b) melhorar o modelo geométrico da garrafa incluindo o tronco de cone que liga o corpo ao pescoço;
(c) melhorar a estimativa da quantidade de água contida na garrafa juntamente com as miçangas, levando em conta o furo cilíndrico de cada miçanga.

Passo 2

(a) Procedimento para medir a densidade dos grãos de areia
  1. Pese em balança de precisão uma amostra de areia limpa e seca e anote a massa m.
  2. Encha um béquer graduado com água até um volume inicial V_1.
  3. Molhe cuidadosamente a areia (para evitar bolhas presas) e despeje-a no béquer, anotando o novo volume V_2.
  4. O volume de areia é \Delta V = V_2 - V_1.
  5. Calcule a densidade como
\rho = \frac{m}{\Delta V}.
  1. Repita o processo várias vezes para obter média e desvio-padrão.

Passo 3

(b) Modelo geométrico com tronco de cone
  1. Meça com régua ou paquímetro o diâmetro maior D_1 e o diâmetro menor D_2 do tronco de cone, bem como sua altura h.
  2. Converta para raios R_1 = D_1/2 e R_2 = D_2/2.
  3. A fórmula do volume do tronco de cone é
V_\text{tronco} = \frac{\pi\,h}{3}\bigl(R_1^2 + R_1R_2 + R_2^2\bigr).
  1. Modele o corpo da garrafa como cilindro de raio R_c e altura H_c, e o pescoço como cilindro de raio R_p e altura H_p.
  2. O volume total da garrafa é
V_\text{garrafa} = \pi R_c^2 H_c \;+\; V_\text{tronco} \;+\; \pi R_p^2 H_p.

Passo 4

(c) Estimativa refinada de água com miçangas furadas
  1. Cada miçanga é aproximada por esfera de raio r com furo cilíndrico de raio r_h e comprimento \ell \approx 2r.
  2. Volume de uma miçanga maciça seria \tfrac{4\pi r^3}{3}. O volume de furo é V_\text{furo} = \pi r_h^2\,\ell.
  3. Volume sólido de uma miçanga furada:
V_\text{miçanga} = \frac{4\pi r^3}{3} \;-\; \pi r_h^2\,(2r).ç
  1. Supondo N miçangas bem embaladas, o volume ocupado por elas é N\,V_\text{miçanga}ç.
  2. A fração de empacotamento (entre esferas) é \varphi\approx0,64, logo o volume de vazio entre miçangas é
V_\text{vazio\,externo} = \bigl(V_\text{garrafa} - N\,V_\text{miçanga}\bigr)\times \varphi^{-1} - \bigl(V_\text{garrafa} - N\,V_\text{miçanga}\bigr).çç
  1. A água cabe nesses vazios externos mais nos furos internos das miçangas, totalizando
V_\text{água} = V_\text{vazio\,externo} + N\,V_\text{furo}.á

Resposta

(a) Meça massa e volume por deslocamento de água; calcule \rho = m/\Delta V.
(b) Modele a garrafa como soma de cilindros e tronco de cone e use \displaystyle V_\text{tronco}=\tfrac{\pi h}{3}(R_1^2+R_1R_2+R_2^2).
(c) Subtraia dos volumes esféricos o furo cilíndrico, use fração de empacotamento \varphi para estimar vazio entre miçangas e some aos vazios internos dos furos.

Exercícios relacionados