5) Para pensar
(a) Descreva um procedimento para medir a densidade de grãos de areia.
(b) Melhore o modelo geométrico da garrafa levando em consideração que ela tem um tronco de cone na transição entre o corpo e o pescoço.
(c) Melhore a estimativa da quantidade de água que cabe na garrafa com bolinhas levando em consideração o furo nas miçangas.
(b) Melhore o modelo geométrico da garrafa levando em consideração que ela tem um tronco de cone na transição entre o corpo e o pescoço.
(c) Melhore a estimativa da quantidade de água que cabe na garrafa com bolinhas levando em consideração o furo nas miçangas.
Passo 1
O enunciado propõe três desafios “para pensar” envolvendo uma garrafa cheia de miçangas e água:
(a) desenvolver um procedimento experimental para medir a densidade dos grãos de areia;
(b) melhorar o modelo geométrico da garrafa incluindo o tronco de cone que liga o corpo ao pescoço;
(c) melhorar a estimativa da quantidade de água contida na garrafa juntamente com as miçangas, levando em conta o furo cilíndrico de cada miçanga.
(a) desenvolver um procedimento experimental para medir a densidade dos grãos de areia;
(b) melhorar o modelo geométrico da garrafa incluindo o tronco de cone que liga o corpo ao pescoço;
(c) melhorar a estimativa da quantidade de água contida na garrafa juntamente com as miçangas, levando em conta o furo cilíndrico de cada miçanga.
Passo 2
(a) Procedimento para medir a densidade dos grãos de areia
- Pese em balança de precisão uma amostra de areia limpa e seca e anote a massa
. - Encha um béquer graduado com água até um volume inicial
. - Molhe cuidadosamente a areia (para evitar bolhas presas) e despeje-a no béquer, anotando o novo volume
. - O volume de areia é
. - Calcule a densidade como
- Repita o processo várias vezes para obter média e desvio-padrão.
Passo 3
(b) Modelo geométrico com tronco de cone
- Meça com régua ou paquímetro o diâmetro maior
e o diâmetro menor do tronco de cone, bem como sua altura . - Converta para raios
e . - A fórmula do volume do tronco de cone é
- Modele o corpo da garrafa como cilindro de raio
e altura , e o pescoço como cilindro de raio e altura . - O volume total da garrafa é
Passo 4
(c) Estimativa refinada de água com miçangas furadas
- Cada miçanga é aproximada por esfera de raio
com furo cilíndrico de raio e comprimento . - Volume de uma miçanga maciça seria
. O volume de furo é . - Volume sólido de uma miçanga furada:
- Supondo
miçangas bem embaladas, o volume ocupado por elas é . - A fração de empacotamento (entre esferas) é
, logo o volume de vazio entre miçangas é
- A água cabe nesses vazios externos mais nos furos internos das miçangas, totalizando
Resposta
(a) Meça massa e volume por deslocamento de água; calcule
.
(b) Modele a garrafa como soma de cilindros e tronco de cone e use .
(c) Subtraia dos volumes esféricos o furo cilíndrico, use fração de empacotamento para estimar vazio entre miçangas e some aos vazios internos dos furos.
(b) Modele a garrafa como soma de cilindros e tronco de cone e use
(c) Subtraia dos volumes esféricos o furo cilíndrico, use fração de empacotamento