Usando conceitos da física estatística pode ser mostrado que a entropia de um gás é dado por: S=S_{0}+n R \ln \left(V T^{3 / 2}\right) \operatorname{com} S_{0}=n R\left(\frac{5}{2}+\ln \frac{\left(2 \pi k_{B} m\right)^{3 / 2}}{n N_{A} h^{3}}\right).
a) Determine S_{0} para um mol de gás ideal de monóxido de carbono (CO) a temperatura e pressão atmosférica ( 300 K e 1atm). k_{B} é a constante de Boltzmann, h é a constante de Planck e m é a massa de cada molécula de CO. (Não esqueça das unidades no sistema internacional)
b) Determine o valor de S para p e T dados (ou p e V=\frac{n R T}{p} dados)
Massa da molécula de \operatorname{CO}\left(m=m_{C}+m_{O}\right): m_{C}=12 \mu e m_{O}=16 \mu, sendo \mu=6.67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}

Passo 1

O enunciado dá a entropia de um gás ideal como
S = S_{0} + n R \ln\bigl(V\,T^{3/2}\bigr)
com
S_{0} = n R\!\Bigl(\tfrac{5}{2} + \ln\frac{(2\pi k_{B} m)^{3/2}}{n\,N_{A}\,h^{3}}\Bigr).
Queremos, para n=1 mol de CO à temperatura T=300,K e pressão p=1,atm,
(a) calcular S_{0} e
(b) usar V = \frac{nRT}{p} para obter S.
Usaremos as constantes em SI: \,k_{B}=1{,}38\times10^{-23},J/K, \,h=6{,}626\times10^{-34}, J\cdot s, \,N_{A}=6{,}022\times10^{23},/mol, \,R=8{,}314,J/(mo l\cdot K),
e a massa molecular de CO é
m = (12+16)\times6{,}67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} = 1{,}8676\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}.

Passo 2

Calcular o fator
A = \frac{(2\pi k_{B} m)^{3/2}}{n\,N_{A}\,h^{3}}
Substituindo n=1:
2\pi k_{B}m = 2\pi \times1{,}38\times10^{-23}\times1{,}8676\times10^{-25} \approx1{,}619\times10^{-47},
(2\pi k_{B}m)^{3/2}\approx(1{,}619\times10^{-47})^{3/2}\approx2{,}06\times10^{-70{,}5},
n\,N_{A}\,h^{3} = 1\times6{,}022\times10^{23}\times(6{,}626\times10^{-34})^{3} \approx1{,}755\times10^{-76},
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A \approx \frac{2{,}06\times10^{-70{,}5}}{1{,}755\times10^{-76}} \approx3{,}71\times10^{5}, \quad \ln A \approx 12{,}83.
Então
S_{0} = nR\Bigl(\tfrac{5}{2} + \ln A\Bigr) = 1\times8{,}314\,(2{,}5 + 12{,}83) \approx8{,}314\times15{,}33 \approx127{,}4\\ \mathrm{J/K}.

Passo 3

Calcular o volume molar a p=1,atm = 1{,}013\times10^{5},Pa e T=300,K:
V = \frac{nRT}{p} = \frac{1\times8{,}314\times300}{1{,}013\times10^{5}} \approx0{,}02461\\ \mathrm{m^{3}}.
Em seguida
V\,T^{3/2} = 0{,}02461\times300^{1{,}5} =0{,}02461\times300\sqrt{300} \approx0{,}02461\times5{,}196\times10^{3} \approx127{,}9,
\ln\bigl(V\,T^{3/2}\bigr)\approx\ln(127{,}9)\approx4{,}85,
nR\ln(V\,T^{3/2})=1\times8{,}314\times4{,}85 \approx40{,}36\\ \mathrm{J/K}.

Passo 4

Somando as parcelas da entropia:
S = S_{0} + nR\ln(V\,T^{3/2}) \approx127{,}4 + 40{,}36 \approx167{,}8\\ \mathrm{J/K}.

Resposta

(a) S_{0}\approx127{,}4\\ \mathrm{J/K}.
(b) S\approx167{,}8\\ \mathrm{J/K}.

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