Construa os gráficos das seguintes funções periódicas. Adote períodos em termos de \pi.
3 \operatorname{sen}(3 t+\pi / 2)

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da função periódica
f(t)=3\operatorname{sen}\bigl(3t+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
O conteúdo é transformação de função seno: amplitude, período e deslocamento horizontal.

Passo 2

Identificamos a amplitude e o período da função básica 3\operatorname{sen}(3t+\tfrac{\pi}{2}):
  • Amplitude: o fator multiplicativo externo é 3, então a amplitude é A=3.
  • Período: para \operatorname{sen}(bt) temos T=\tfrac{2\pi}{|b|}. Aqui b=3, logo
T=\frac{2\pi}{3}.

Passo 3

Determinamos o deslocamento horizontal (fase):
3t+\frac{\pi}{2} =3\Bigl(t+\frac{\pi}{6}\Bigr).
Isso equivale a um deslocamento para a esquerda de \tfrac{\pi}{6}.

Passo 4

Vamos marcar os pontos-chave no primeiro período, que vai de t_0=-\tfrac{\pi}{6}\) até \(t_0+T=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\pi}{2}\): 1. Zeros ocorrem quando o argumento \(3t+\tfrac{\pi}{2}=k\pi\). Para \(k=0,1,2\) obtemos \[t_k=\frac{k\pi-\frac{\pi}{2}}{3} =\begin{cases} -\tfrac{\pi}{6}, &k=0,\\\ \tfrac{\pi}{6}, &k=1,\\\ \tfrac{\pi}{2}, &k=2. \end{cases}
  1. Máximo ocorre quando 3t+\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\]. Para \(k=0
t=0,\quad f(0)=3.
  1. Mínimo ocorre quando 3t+\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k. Para k=0
t=\frac{\pi}{3},\quad f\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=-3.

Passo 5

Esquematizando o gráfico de f(t) no intervalo \bigl[-\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2}\bigr]:
\begin{array}{c|ccccc} t & -\tfrac{\pi}{6} & 0 & \tfrac{\pi}{6} & \tfrac{\pi}{3} & \tfrac{\pi}{2}\\hline f(t) & 0 & 3 & 0 & -3 & 0 \end{array}
Conecte esses pontos com a forma ondulatória do seno e, em seguida, repita este padrão com período T=\tfrac{2\pi}{3} para todos os t.

Resposta

O gráfico de f(t)=3\operatorname{sen}(3t+\tfrac{\pi}{2}) é uma senoide com amplitude 3, período \tfrac{2\pi}{3} e deslocada \tfrac{\pi}{6} para a esquerda, passando por
(-\tfrac{\pi}{6},0),\;(0,3),\;( \tfrac{\pi}{6},0),\;( \tfrac{\pi}{3},-3),\;( \tfrac{\pi}{2},0)
e repetindo-se regularmente.

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