Considere um par de anéis condutores concêntricos, centrados, no mesmo plano, com raios a e b. Determine a indutância mútua entre os anéis, se
.
Resposta:
Passo 1
O enunciado dá dois anéis condutores concêntricos e coplanares, com raios
(anel pequeno) e
(anel grande), e pede a indutância mútua entre eles no caso
.\n
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Raios:
e , com . - Os anéis são concêntricos e estão no mesmo plano.
- Queremos a indutância mútua
(unidade Henry, ). - Podemos usar a aproximação de campo de dipolo magnético para o anel pequeno, válida quando estamos a distâncias muito maiores que seu raio.
Passo 2
Definição útil e escolha do procedimento: a indutância mútua é a razão entre o fluxo magnético que atravessa um anel devido à corrente no outro e essa corrente. Ou seja, se uma corrente
percorre o anel pequeno e gera fluxo
através do anel grande, então
Para
o anel pequeno pode ser aproximado por um dipolo magnético de momento magnético
. Vou tomar o anel pequeno como fonte (corrente
) e calcular o fluxo através do anel de raio
causado por esse dipolo.
Passo 3
Momento magnético do anel pequeno: o momento magnético (vetor) de um laço circular de corrente é igual à corrente multiplicada pela área vetorial do laço. Como os anéis são coplanares, o momento magnético do anel de raio
tem módulo
e direção perpendicular ao plano do anel (vou chamar essa direção de
). A aproximação de dipolo é válida para pontos com distância
do centro tal que
.
Passo 4
Potencial vetor do dipolo magnético (fórmula conhecida, que vou usar e explicar): o potencial vetor no regime de dipolo (campo distante) é
onde
é a permeabilidade do meio (no vácuo seria
),
é o momento magnético e
é o vetor posição do ponto onde calculamos
. Essa expressão dá um campo que reproduz, por derivação, o campo magnético do dipolo no espaço longe da fonte.
Agora especializo para pontos do plano do anel grande (
), a uma distância radial
do centro. Com
e
(em coordenadas cilíndricas), o produto vetorial é
Substituindo na expressão de
obtém-se, no plano
,
Portanto o potencial vetor tem apenas componente azimutal, dada por
Passo 5
Relação entre fluxo magnético e potencial vetor: pela identidade
e pelo Teorema de Stokes, o fluxo magnético
através da superfície limitada pelo anel de raio
eqüivale à integral de linha do potencial vetor ao longo da borda:
No nosso caso a borda é o círculo de raio
. Como
no círculo de raio
tem componente
constante em módulo igual a
, e o elemento de linha é
, temos
Substituindo
resulta
Passo 6
Agora substituímos
em termos da corrente
do anel pequeno:
. Assim o fluxo por unidade de corrente (que é a indutância mútua) é
Portanto
Observações finais: a derivação usou a aproximação de dipolo (válida quando
) e o Teorema de Stokes para converter fluxo em integral de linha de
. O sinal positivo indica que o fluxo tem orientação consistente com o sentido escolhido para
.