Considere um par de anéis condutores concêntricos, centrados, no mesmo plano, com raios a e b. Determine a indutância mútua entre os anéis, se \mathrm{b} \gg \mathrm{a}.
Resposta: \quad M=\frac{\mu \pi a^{2}}{2 b} \quad[H]

Passo 1

O enunciado dá dois anéis condutores concêntricos e coplanares, com raios a (anel pequeno) e b (anel grande), e pede a indutância mútua entre eles no caso \;b\gg a.\n
Informações relevantes:
  • Raios: \;a e \;b, com \;b\gg a.
  • Os anéis são concêntricos e estão no mesmo plano.
  • Queremos a indutância mútua M (unidade Henry, [H]).
  • Podemos usar a aproximação de campo de dipolo magnético para o anel pequeno, válida quando estamos a distâncias muito maiores que seu raio.

Passo 2

Definição útil e escolha do procedimento: a indutância mútua é a razão entre o fluxo magnético que atravessa um anel devido à corrente no outro e essa corrente. Ou seja, se uma corrente I percorre o anel pequeno e gera fluxo \Phi através do anel grande, então
M=\frac{\Phi}{I}.
Para b\gg a o anel pequeno pode ser aproximado por um dipolo magnético de momento magnético \mathbf{m}. Vou tomar o anel pequeno como fonte (corrente I) e calcular o fluxo através do anel de raio b causado por esse dipolo.

Passo 3

Momento magnético do anel pequeno: o momento magnético (vetor) de um laço circular de corrente é igual à corrente multiplicada pela área vetorial do laço. Como os anéis são coplanares, o momento magnético do anel de raio a tem módulo
m = I\cdot (\text{área}) = I\pi a^{2},á
e direção perpendicular ao plano do anel (vou chamar essa direção de \hat{z}). A aproximação de dipolo é válida para pontos com distância r do centro tal que r\gg a.

Passo 4

Potencial vetor do dipolo magnético (fórmula conhecida, que vou usar e explicar): o potencial vetor no regime de dipolo (campo distante) é
\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu}{4\pi}\,\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^{3}},
onde \mu é a permeabilidade do meio (no vácuo seria \mu_0), \mathbf{m} é o momento magnético e \mathbf{r} é o vetor posição do ponto onde calculamos \mathbf{A}. Essa expressão dá um campo que reproduz, por derivação, o campo magnético do dipolo no espaço longe da fonte.
Agora especializo para pontos do plano do anel grande ( z=0), a uma distância radial r do centro. Com \mathbf{m}=m\hat{z} e \mathbf{r}=r\hat{r} (em coordenadas cilíndricas), o produto vetorial é
\mathbf{m}\times\mathbf{r}=m\hat{z}\times(r\hat{r})=m r\,\hat{\varphi}.
Substituindo na expressão de \mathbf{A} obtém-se, no plano z=0,
\mathbf{A}(r)=\frac{\mu}{4\pi}\frac{m r\,\hat{\varphi}}{r^{3}}=\frac{\mu m}{4\pi r^{2}}\,\hat{\varphi}.
Portanto o potencial vetor tem apenas componente azimutal, dada por
A_{\varphi}(r)=\frac{\mu m}{4\pi r^{2}}.

Passo 5

Relação entre fluxo magnético e potencial vetor: pela identidade \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A} e pelo Teorema de Stokes, o fluxo magnético \Phi através da superfície limitada pelo anel de raio b eqüivale à integral de linha do potencial vetor ao longo da borda:
\Phi=\iint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=\oint_{\partial S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}.
No nosso caso a borda é o círculo de raio b. Como \mathbf{A} no círculo de raio b tem componente \hat{\varphi} constante em módulo igual a A_{\varphi}(b), e o elemento de linha é d\mathbf{l}=b\,d\varphi\,\hat{\varphi}, temos
\Phi=\oint \mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}=A_{\varphi}(b)\int_{0}^{2\pi} b\,d\varphi = A_{\varphi}(b)\,2\pi b.
Substituindo A_{\varphi}(b)=\dfrac{\mu m}{4\pi b^{2}} resulta
\Phi=\frac{\mu m}{4\pi b^{2}}\cdot 2\pi b=\frac{\mu m}{2b}.

Passo 6

Agora substituímos m em termos da corrente I do anel pequeno: \;m=I\pi a^{2}. Assim o fluxo por unidade de corrente (que é a indutância mútua) é
M=\frac{\Phi}{I}=\frac{1}{I}\cdot\frac{\mu m}{2b}=\frac{\mu}{2b}\cdot\frac{m}{I}=\frac{\mu}{2b}\cdot\pi a^{2}.
Portanto
M=\frac{\mu\pi a^{2}}{2b}.
Observações finais: a derivação usou a aproximação de dipolo (válida quando \;b\gg a) e o Teorema de Stokes para converter fluxo em integral de linha de \mathbf{A}. O sinal positivo indica que o fluxo tem orientação consistente com o sentido escolhido para I.

Resposta

M=\dfrac{\mu\pi a^{2}}{2b}\quad[H]

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