Uma pequena bola é largada da beira de uma tigela hemisférica de raio 15 cm . Desprezando o atrito, qual será a velocidade da bola ao chegar ao fundo da tigela?

Passo 1

O enunciado pede: “Uma pequena bola é largada da beira de uma tigela hemisférica de raio 15\\ \mathrm{cm}. Desprezando o atrito, qual será a velocidade da bola ao chegar ao fundo da tigela?”\n
Informações dadas:
R = 15\\ \mathrm{cm}.
Condições: bola pequena (consideramos como partícula), largada da beira (parte superior da hemisfério), sem atrito (forças não conservativas desprezíveis). O objetivo é encontrar a velocidade da bola no fundo da tigela.

Passo 2

Escolha do método (explicação curta): como não há atrito, a energia mecânica (energia potencial gravitacional + energia cinética) é conservada. Isso é a forma mais direta e prática de achar a velocidade no fundo, porque evita integrar forças ao longo da trajetória curvilínea. Vamos usar conservação de energia mecânica.

Passo 3

Conservação da energia mecânica — conceito e fórmulas básicas explicadas:
  • Energia potencial gravitacional: a energia associada à altura de um corpo é dada por
E_p = m g h,
onde m é a massa da bola, g é a aceleração da gravidade e h é a diferença de altura entre a posição considerada e a referência de potencial.
  • Energia cinética: energia associada ao movimento é
E_k = \tfrac{1}{2} m v^2,
onde v é a velocidade.
Se não há forças dissipativas, a energia mecânica total se conserva:
E_{\text{inicial}} = E_{\text{final}}.
No nosso caso a bola é largada do repouso na beira, então energia inicial é puramente potencial m g h; no fundo a energia é puramente cinética \tfrac{1}{2} m v^2 (tomando o potencial zero no fundo). Igualando:
m g h = \tfrac{1}{2} m v^2.
A massa m cancela-se (ufa — não precisamos saber a massa), restando
v = \sqrt{2 g h}.
Explicação: essa fórmula diz que a velocidade depende só da diferença de altura h e da gravidade g.

Passo 4

Determinar a altura h que a bola desce (explicação geométrica):
A tigela é um hemisfério de raio R. A “beira” da tigela corresponde à “equador” da esfera (a borda aberta). Pense numa esfera centrada em um ponto; o fundo da tigela é o ponto mais baixo da esfera e a borda está no plano do equador, a uma distância vertical igual ao raio R acima do fundo. Portanto a diferença de altura entre a borda e o fundo é
h = R.
Aqui usamos o dado do enunciado:
R = 15\\ \mathrm{cm} = 0,15\\ \mathrm{m},
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h = 0,15\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Substituir na fórmula e calcular passo a passo (unidades consistentes):
A fórmula encontrada foi
v = \sqrt{2 g h}.
Usamos g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão) e h = 0{,}15\\ \mathrm{m}. Primeiro calcule o produto dentro da raiz:
2 g h = 2 \times 9{,}81 \times 0{,}15 = 19{,}62 \times 0{,}15 = 2{,}943.
Agora a raiz quadrada:
v = \sqrt{2{,}943} \approx 1{,}7156\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de modo razoável (duas casas decimais) temos
v \approx 1{,}72\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v \approx 1{,}72\\ \mathrm{m/s}

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