Uma pequena bola é largada da beira de uma tigela hemisférica de raio 15 cm . Desprezando o atrito, qual será a velocidade da bola ao chegar ao fundo da tigela?
Passo 1
O enunciado pede: “Uma pequena bola é largada da beira de uma tigela hemisférica de raio
. Desprezando o atrito, qual será a velocidade da bola ao chegar ao fundo da tigela?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Condições: bola pequena (consideramos como partícula), largada da beira (parte superior da hemisfério), sem atrito (forças não conservativas desprezíveis). O objetivo é encontrar a velocidade da bola no fundo da tigela.
Passo 2
Escolha do método (explicação curta): como não há atrito, a energia mecânica (energia potencial gravitacional + energia cinética) é conservada. Isso é a forma mais direta e prática de achar a velocidade no fundo, porque evita integrar forças ao longo da trajetória curvilínea. Vamos usar conservação de energia mecânica.
Passo 3
Conservação da energia mecânica — conceito e fórmulas básicas explicadas:
- Energia potencial gravitacional: a energia associada à altura de um corpo é dada por
onde
é a massa da bola,
é a aceleração da gravidade e
é a diferença de altura entre a posição considerada e a referência de potencial.
- Energia cinética: energia associada ao movimento é
onde
é a velocidade.
Se não há forças dissipativas, a energia mecânica total se conserva:
Se não há forças dissipativas, a energia mecânica total se conserva:
No nosso caso a bola é largada do repouso na beira, então energia inicial é puramente potencial
; no fundo a energia é puramente cinética
(tomando o potencial zero no fundo). Igualando:
A massa
cancela-se (ufa — não precisamos saber a massa), restando
Explicação: essa fórmula diz que a velocidade depende só da diferença de altura
e da gravidade
.
Passo 4
Determinar a altura
que a bola desce (explicação geométrica):
A tigela é um hemisfério de raio . A “beira” da tigela corresponde à “equador” da esfera (a borda aberta). Pense numa esfera centrada em um ponto; o fundo da tigela é o ponto mais baixo da esfera e a borda está no plano do equador, a uma distância vertical igual ao raio
acima do fundo. Portanto a diferença de altura entre a borda e o fundo é
A tigela é um hemisfério de raio
Aqui usamos o dado do enunciado:
logo
Passo 5
Substituir na fórmula e calcular passo a passo (unidades consistentes):
A fórmula encontrada foi
A fórmula encontrada foi
Usamos
(valor padrão) e
. Primeiro calcule o produto dentro da raiz:
Agora a raiz quadrada:
Arredondando de modo razoável (duas casas decimais) temos