Uma pequena caixa de massa
(modelada como uma partícula) está apoiada sobre a superfície lisa e fixa de uma esfera de raio
. Inicialmente, a caixa é mantida em repouso em uma posição tal que o raio da esfera que passa por ela forma um ângulo de
a vertical. A seguir, a caixa é liberada a partir do repouso. a) Determine a força que a esfera exerce sobre a caixa imediatamente após a liberação. b) A caixa perde o contato com a esfera quando o raio que passa por ela forma um ângulo
com a vertical. Calcule, em função de
e
, a distância percorrida pela caixa sobre a superfície da esfera desde o ponto de liberação até o ponto de separação.
Passo 1
O enunciado trata de uma caixinha de massa
apoiada sem atrito sobre uma esfera fixa de raio
. Inicialmente ela está em repouso num ponto em que o raio até a caixinha faz um ângulo de
com a vertical e, ao soltar, ela escorrega.
a) Queremos a força normal que a esfera exerce sobre a caixinha imediatamente após a liberação.
b) Sabemos que, ao atingir um ângulo com a vertical, a caixinha perde contato. Pedem a distância percorrida sobre a superfície da esfera desde o ponto inicial (
) até esse ponto de separação (
).
a) Queremos a força normal que a esfera exerce sobre a caixinha imediatamente após a liberação.
b) Sabemos que, ao atingir um ângulo
Passo 2
Para a parte (a) fazemos o balanço de forças na direção radial logo ao liberar a caixinha. Como ela parte do repouso, sua velocidade inicial é zero, logo não há aceleração centrípeta. No diagrama de forças radiais temos:
Passo 3
Isolando
obtemos
Passo 4
Para a parte (b) a distância percorrida ao longo da superfície é simplesmente o comprimento do arco de círculo correspondente à variação angular de
até
. Em radianos,
. Então
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)