Uma pequena caixa de massa m (modelada como uma partícula) está apoiada sobre a superfície lisa e fixa de uma esfera de raio R. Inicialmente, a caixa é mantida em repouso em uma posição tal que o raio da esfera que passa por ela forma um ângulo de 30^{\circ} \mathrm{com} a vertical. A seguir, a caixa é liberada a partir do repouso. a) Determine a força que a esfera exerce sobre a caixa imediatamente após a liberação. b) A caixa perde o contato com a esfera quando o raio que passa por ela forma um ângulo \theta com a vertical. Calcule, em função de R e \theta, a distância percorrida pela caixa sobre a superfície da esfera desde o ponto de liberação até o ponto de separação.

Passo 1

O enunciado trata de uma caixinha de massa m apoiada sem atrito sobre uma esfera fixa de raio R. Inicialmente ela está em repouso num ponto em que o raio até a caixinha faz um ângulo de 30^\circ com a vertical e, ao soltar, ela escorrega.
a) Queremos a força normal que a esfera exerce sobre a caixinha imediatamente após a liberação.
b) Sabemos que, ao atingir um ângulo \theta com a vertical, a caixinha perde contato. Pedem a distância percorrida sobre a superfície da esfera desde o ponto inicial ( 30^\circ) até esse ponto de separação ( \theta).

Passo 2

Para a parte (a) fazemos o balanço de forças na direção radial logo ao liberar a caixinha. Como ela parte do repouso, sua velocidade inicial é zero, logo não há aceleração centrípeta. No diagrama de forças radiais temos:
N - mg\cos 30^\circ \;=\; m\,\frac{v^2}{R}\;=\;0.

Passo 3

Isolando N obtemos
N \;=\; mg\cos 30^\circ \;=\; mg\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Para a parte (b) a distância percorrida ao longo da superfície é simplesmente o comprimento do arco de círculo correspondente à variação angular de 30^\circ até \theta. Em radianos, 30^\circ=\pi/6. Então
s \;=\; R\,\bigl(\theta - \tfrac{\pi}{6}\bigr).

Resposta

(a) \displaystyle N = mg\cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,mg.
(b) \displaystyle s = R\Bigl(\theta - \tfrac{\pi}{6}\Bigr).

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