(valor: 2,00 ) Consideremos no espaço \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) os vetores p_{1}(t)=t^{2}-2 t+1, p_{2}(t)=t+2 e p_{3}(t)=2 t^{2}-1. Faça o que se pede:
(a) Escrever o vetor p(t)=6-3 t-2 t^{2} como combinação linear de p_{1}, p_{2} e p_{3}.
(b) Os polinômios p_{1}, p_{2}, p_{3} formam uma base para o espaço vetorial real \left(\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}),+, \cdot\right) ?

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço de polinômios de grau <=2, \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), com
\;p_{1}(t)=t^{2}-2t+1,\;p_{2}(t)=t+2,\;p_{3}(t)=2t^{2}-1.
(a) Queremos expressar
p(t)=6-3t-2t^{2}
como combinação linear a\,p_{1}(t)+b\,p_{2}(t)+c\,p_{3}(t).
(b) Precisamos verificar se \{p_{1},p_{2},p_{3}\} é base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), ou seja, se são linearmente independentes em um espaço de dimensão 3.

Passo 2

Para (a) escrevemos
a\bigl(t^{2}-2t+1\bigr)+b\bigl(t+2\bigr)+c\bigl(2t^{2}-1\bigr) =-2t^{2}-3t+6
e comparamos coeficientes de t^{2}, t e termo constante, obtendo o sistema
\begin{cases} a + 2c = -2,\\\\ -2a + b = -3,\\\ a + 2b - c = 6. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema: de -2a+b=-3 vem b=-3+2a.
Substituindo em a+2b-c=6 a+2(-3+2a)-c=6 \implies5a-c=12 \implies c=5a-12.
Em a+2c=-2 achamos a+2(5a-12)=-2 \implies11a=22 \implies a=2.
Logo c=5\cdot2-12=-2 e b=-3+2\cdot2=1.
Portanto
p(t)=2\,p_{1}(t)+1\,p_{2}(t)-2\,p_{3}(t).

Passo 4

Para (b), note que \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 3. Se \{p_{1},p_{2},p_{3}\} for LI, então já é base.
Em coordenadas na base canônica \{t^{2},t,1\} temos colunas
p_{1}\mapsto\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix},\; p_{2}\mapsto\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix},\; p_{3}\mapsto\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.
O determinante da matriz formada por essas colunas é
\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ -2 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} =-11\neq0,
logo são linearmente independentes e, sendo 3 vetores em espaço de dimensão 3, formam base.

Resposta

(a) \displaystyle p(t)=2\,p_{1}(t)+p_{2}(t)-2\,p_{3}(t).
(b) Sim. Os três polinômios são linearmente independentes num espaço de dimensão 3, portanto formam uma base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).

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