Uma bola uniforme de raio
rola sem escorregar do topo de uma esfera de raio
que está fixada no chão. a) Encontre a velocidade do centro de massa
e b) a velocidade angular da bola
no momento em que ela se desprende da esfera, ambas em função de
e
. Pode-se considerar que a bola parte do repouso após ser perturbada.
Passo 1
O problema trata de uma bola sólida e uniforme de raio
que rola sem escorregar sobre uma esfera fixa de raio
. Partindo do repouso no topo, queremos as velocidades do centro de massa
e angular
no instante em que a bola se desprende da superfície. Para isso vamos usar conservação de energia (energia potencial virando energia cinética translacional e rotacional) e o critério de desprendimento (a força normal fica zero, dando a condição de equilíbrio centrípeto).
Passo 2
Enquanto a bola desce até um ângulo
medido a partir do topo, ela perde altura
logo a energia potencial perdida é
Parte vira energia cinética de translação e parte em rotação. Como rola sem escorregar ao longo da curva, o comprimento de arco percorrido é
, o que implica
e
O momento de inércia da bola é
. Portanto, a energia cinética total é
Passo 3
Conservando energia entre o topo (
,
) e um ângulo genérico
,
Passo 4
A bola se solta quando a força normal
entre as superfícies fica nula. Na direção radial temos
e, para
,
Igualando essa expressão àquela da conservação de energia:
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos
Como a bola rola sem escorregar,