Uma bola uniforme de raio r rola sem escorregar do topo de uma esfera de raio R>r que está fixada no chão. a) Encontre a velocidade do centro de massa V_{c m} e b) a velocidade angular da bola \omega no momento em que ela se desprende da esfera, ambas em função de R, r e g. Pode-se considerar que a bola parte do repouso após ser perturbada.

Passo 1

O problema trata de uma bola sólida e uniforme de raio r que rola sem escorregar sobre uma esfera fixa de raio R. Partindo do repouso no topo, queremos as velocidades do centro de massa V_{cm} e angular \omega no instante em que a bola se desprende da superfície. Para isso vamos usar conservação de energia (energia potencial virando energia cinética translacional e rotacional) e o critério de desprendimento (a força normal fica zero, dando a condição de equilíbrio centrípeto).

Passo 2

Enquanto a bola desce até um ângulo \varphi medido a partir do topo, ela perde altura
\Delta h = (R + r)\bigl(1 - \cos\varphi\bigr)
logo a energia potencial perdida é
mg\,(R + r)\bigl(1 - \cos\varphi\bigr).
Parte vira energia cinética de translação e parte em rotação. Como rola sem escorregar ao longo da curva, o comprimento de arco percorrido é (R+r)\varphi, o que implica V_{cm}=(R+r)\dot\varphi e
\omega = \frac{(R+r)\dot\varphi}{r} = \frac{V_{cm}}{r}.
O momento de inércia da bola é I=\tfrac{2}{5}mr^2. Portanto, a energia cinética total é
K = \tfrac12\,mV_{cm}^2 + \tfrac12\,I\,\omega^2 = \tfrac12\,mV_{cm}^2\Bigl(1+\frac{I}{m\,r^2}\Bigr) = \tfrac12\,mV_{cm}^2\Bigl(1+\tfrac25\Bigr) = \tfrac{7}{10}\,mV_{cm}^2.

Passo 3

Conservando energia entre o topo ( V_{cm}=0, \varphi=0) e um ângulo genérico \varphi,
mg\,(R + r)\bigl(1 - \cos\varphi\bigr) = \frac{7}{10}\,mV_{cm}^2 \quad\Longrightarrow\quad V_{cm}^2 = \frac{10}{7}\,g\,(R + r)\bigl(1 - \cos\varphi\bigr).

Passo 4

A bola se solta quando a força normal N entre as superfícies fica nula. Na direção radial temos
mg\cos\varphi - N = m\,\frac{V_{cm}^2}{R + r}
e, para N=0,
mg\cos\varphi = m\,\frac{V_{cm}^2}{R + r} \quad\Longrightarrow\quad V_{cm}^2 = g\,(R + r)\cos\varphi.
Igualando essa expressão àquela da conservação de energia:
g\,(R + r)\cos\varphi = \frac{10}{7}\,g\,(R + r)\bigl(1 - \cos\varphi\bigr) \;\Longrightarrow\; \cos\varphi\bigl(1 + \tfrac{10}{7}\bigr)=\tfrac{10}{7} \;\Longrightarrow\; \cos\varphi = \frac{10}{17}.

Passo 5

Substituindo \cos\varphi=10/17 em V_{cm}^2 = g\,(R+r)\cos\varphi, obtemos
V_{cm}^2 = \frac{10}{17}\,g\,(R + r) \quad\Longrightarrow\quad V_{cm} = \sqrt{\frac{10}{17}\,g\,(R + r)}.
Como a bola rola sem escorregar,
\omega = \frac{V_{cm}}{r} = \frac{1}{r}\,\sqrt{\frac{10}{17}\,g\,(R + r)}.

Resposta

V_{cm} = \displaystyle \sqrt{\frac{10}{17}\,g\,\bigl(R + r\bigr)}
\omega = \displaystyle \frac{1}{r}\sqrt{\frac{10}{17}\,g\,\bigl(R + r\bigr)}

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