Um ponto se move com desaceleração ao longo do círculo de raio R, de modo que, em qualquer instante, suas acelerações tangencial e normal são iguais em módulo em todo instante. No instante inicial t=0, a velocidade do ponto é igual a v_{0}. Encontre: a) a velocidade do ponto em função do tempo e em função da distância percorrida s no círculo; b) a aceleração total do ponto em função da distância percorrida s.

Passo 1

O enunciado trata de um movimento circular de raio R em que o módulo da aceleração tangencial \bigl|a_{t}\bigr| é sempre igual ao módulo da aceleração normal \bigl|a_{n}\bigr|. Aqui o conteúdo é cinemática rotacional:
– Aceleração tangencial a_{t} = \dfrac{dv}{dt}.
– Aceleração normal a_{n} = \dfrac{v^{2}}{R}.
Igualando os módulos e lembrando que a velocidade diminui (desaceleração), teremos
\frac{dv}{dt} = -\,\frac{v^{2}}{R}.
Vamos usar essa equação para achar (a) v(t) e v(s), e depois (b) o módulo da aceleração total em função de s.

Passo 2

Para achar v(t), resolvemos
\frac{dv}{dt} = -\frac{v^{2}}{R}.
Separamos variáveis:
\frac{dv}{v^{2}} = -\frac{dt}{R}.
Integramos de t=0 até t com v(0)=v_{0}:
\int_{v_{0}}^{v(t)} \frac{du}{u^{2}} = -\int_{0}^{t} \frac{dt'}{R} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl[-\frac{1}{u}\Bigr]_{v_{0}}^{v} = -\frac{t}{R}.
Isso dá
-\frac{1}{v(t)} + \frac{1}{v_{0}} = -\frac{t}{R} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{v(t)} = \frac{t}{R} + \frac{1}{v_{0}}
e, portanto,
v(t) = \frac{1}{\dfrac{t}{R} + \dfrac{1}{v_{0}}} = \frac{R}{\,t + \dfrac{R}{v_{0}}\,}.

Passo 3

Para achar v em função do deslocamento s ao longo do arco usamos ds/dt = v. Note que
\frac{dv}{ds} = \frac{dv}{dt}\,\frac{dt}{ds} = \Bigl(-\frac{v^{2}}{R}\Bigr)\,\frac{1}{v} = -\frac{v}{R}.
Separamos de novo variáveis e integramos de s=0 até s com v(0)=v_{0}:
\frac{dv}{v} = -\frac{ds}{R} \quad\Longrightarrow\quad \int_{v_{0}}^{v(s)} \frac{du}{u} = -\int_{0}^{s} \frac{ds'}{R} \quad\Longrightarrow\quad \ln\frac{v(s)}{v_{0}} = -\frac{s}{R}.
Logo
v(s) = v_{0}\,\exp\!\bigl(-\tfrac{s}{R}\bigr).

Passo 4

O módulo da aceleração total é
a_{\text{total}} = \sqrt{a_{t}^{2} + a_{n}^{2}} = \sqrt{\Bigl(\frac{v^{2}}{R}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{v^{2}}{R}\Bigr)^{2}} = \sqrt{2}\,\frac{v^{2}}{R}.
Substituindo v(s):
a_{\text{total}}(s) = \sqrt{2}\,\frac{\bigl(v_{0}\,e^{-s/R}\bigr)^{2}}{R} = \frac{\sqrt{2}\,v_{0}^{2}}{R}\,\exp\!\bigl(-\tfrac{2s}{R}\bigr).

Resposta

a)
v(t) = \frac{R}{\,t + \dfrac{R}{v_{0}}\,}, \quad v(s) = v_{0}\,e^{-\tfrac{s}{R}}.
b)
a_{\text{total}}(s) = \frac{\sqrt{2}\,v_{0}^{2}}{R}\,\exp\!\bigl(-\tfrac{2s}{R}\bigr).

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