Uma pequena empresa que fabrica botas de alpinismo verifica que o lucro marginal semanal por L^prime(x)=15-0,01 x, onde x é o número de pares de botas vendidos por semana. Nas semanas em que não é vendida nenhuma bota, a empresa tem um prejuízo de R$1.000,00.

Passo 1

Estamos com um lucro marginal semanal dado por L'(x)=15-0,01x, onde x é o número de pares vendidos, e sabemos que L(0)=-1000 (prejuízo de R$1000 quando não vende nada). Vamos achar a função lucro 1000 quando não vende nada) Vamos achar a função lucro e depois determinar o ponto de máximo.

Passo 2

Para obter L(x) basta integrar L'(x). Integramos:
L(x)= integral (15-0,01x),dx =15x-0,01x^22+C =15x-0,005x^2+C

Passo 3

Usamos a condição inicial L(0)=-1000 para achar C:
L(0)=C=-1000
Logo
L(x)=15x-0,005x^2-1000

Passo 4

Para achar o máximo de lucro, igualamos L'(x)=0:
15-0,01x=0
x=150,01=1500

Resposta

A função lucro é
L(x)=15x-0,005x^2-1000
E o lucro é máximo quando são vendidas 1500 duplas de botas por semana, alcançando L(1500)=10250 reais.

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