Se a receita e o custo marginal expressam-se como função da quantidade
respectivamente por
, encontre a quantidade produzida que maximiza o lucro assim como o lucro total correspondente sob condições de competição perfeita. R :
e
.
Passo 1
O enunciado coloca as funções de receita marginal e custo marginal como
e
Queremos achar a quantidade que maximiza o lucro em concorrência perfeita e o lucro total correspondente. O conteúdo aqui é maximização de lucro igualando marginais e depois integrar para obter receita e custo totais.
Passo 2
Em concorrência perfeita o lucro é máximo quando
Logo, igualamos as duas expressões:
Passo 3
Reorganizando os termos:
Dividindo por
Aplicando a fórmula de Bhaskara, obtemos
ou
. Como quantidade negativa não faz sentido, ficamos com
.
Passo 4
Para calcular o lucro total
, primeiro integramos as marginais com constante zero (assumindo
):
$$R(x)=
\int(44-9x),dx=44x-4{,}5x^2$$
$$C(x)=
\int(20-7x+2x2),dx=20x-3{,}5x2+\tfrac{2}{3}x^3$$
Passo 5
Subtraindo, temos o lucro:
Passo 6
Avaliando em
:
Resposta
x = 3 e L(3) = 45