Se a receita e o custo marginal expressam-se como função da quantidade x respectivamente por Rm(x)=44-9 x e Cm(x)=20-7 x+2 x^2, encontre a quantidade produzida que maximiza o lucro assim como o lucro total correspondente sob condições de competição perfeita. R : x=3 e L(3)=45.

Passo 1

O enunciado coloca as funções de receita marginal e custo marginal como
Rm(x)=44-9x
e
Cm(x)=20-7x+2x^2
Queremos achar a quantidade que maximiza o lucro em concorrência perfeita e o lucro total correspondente. O conteúdo aqui é maximização de lucro igualando marginais e depois integrar para obter receita e custo totais.

Passo 2

Em concorrência perfeita o lucro é máximo quando
Rm(x)=Cm(x)
Logo, igualamos as duas expressões:
44-9x=20-7x+2x^2

Passo 3

Reorganizando os termos:
44-9x-20+7x-2x^2=0
24-2x-2x^2=0
Dividindo por -2:
x^2+x-12=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara, obtemos x=3 ou x=-4. Como quantidade negativa não faz sentido, ficamos com x=3.

Passo 4

Para calcular o lucro total L(x)=R(x)-C(x), primeiro integramos as marginais com constante zero (assumindo R(0)=C(0)=0):
$$R(x)=
\int(44-9x),dx=44x-4{,}5x^2$$
$$C(x)=
\int(20-7x+2x2),dx=20x-3{,}5x2+\tfrac{2}{3}x^3$$

Passo 5

Subtraindo, temos o lucro:
L(x)=R(x)-C(x)=44x-4,5x^2-(20x-3,5x^2+tfrac23x^3)=24x-x^2-tfrac23x^3

Passo 6

Avaliando em x=3:
L(3)=24cdot3-3^2-tfrac23cdot3^3=72-9-18=45

Resposta

x = 3 e L(3) = 45

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