Suponha que uma empresa deseje aumentar o número de seus vendedores. Assumindo que pesquisas estatísticas em tal empresa revelam que o custo marginal
(em mil reais) para empregar vendedores adicionais expressa-se como função do número de vendedores adicionais
segundo o expressão
e a receita marginal
(em mil reais) propiciada por tais vendedores por
, calcule o número de vendedores adicionais necessários a maximizar o lucro proveniente de tal contratação, bem como o valor do lucro máximo correspondente.
R: Portanto, a empresa deve contratar 15 vendedores adicionais e terá um lucro máximo de 34,50 mil reais.
R: Portanto, a empresa deve contratar 15 vendedores adicionais e terá um lucro máximo de 34,50 mil reais.
Passo 1
A questão dá as funções de custo marginal e receita marginal em milhares de reais, respectivamente
e
, onde
é o número de vendedores adicionais. Para maximizar o lucro, precisamos igualar receita marginal e custo marginal (ponto em que o acréscimo ao lucro = 0) e depois calcular o lucro máximo como
.
Passo 2
Para encontrar o número ótimo de vendedores, resolvemos a equação
Elevando ao quadrado:
Isolando a raiz:
Elevando novamente ao quadrado e resolvendo, obtemos
(descartamos raiz negativa).
Passo 3
Agora calculamos o lucro máximo:
Separando a integral
Separando a integral
Cada termo:
Somando e subtraindo:
Resposta
Número de vendedores adicionais: 15; Lucro máximo: 34,50 mil reais.