Suponha que uma empresa deseje aumentar o número de seus vendedores. Assumindo que pesquisas estatísticas em tal empresa revelam que o custo marginal Cm (em mil reais) para empregar vendedores adicionais expressa-se como função do número de vendedores adicionais x segundo o expressão Cm(x)=raiz485 x e a receita marginal Rm (em mil reais) propiciada por tais vendedores por Rm(x)=2+raiz4 x+40, calcule o número de vendedores adicionais necessários a maximizar o lucro proveniente de tal contratação, bem como o valor do lucro máximo correspondente.
R: Portanto, a empresa deve contratar 15 vendedores adicionais e terá um lucro máximo de 34,50 mil reais.

Passo 1

A questão dá as funções de custo marginal e receita marginal em milhares de reais, respectivamente Cm(x)=raiztfrac485x e Rm(x)=2+raiz4x+40, onde x é o número de vendedores adicionais. Para maximizar o lucro, precisamos igualar receita marginal e custo marginal (ponto em que o acréscimo ao lucro = 0) e depois calcular o lucro máximo como P(x)=integral0^xl(Rm(t)-Cm(t)r),dt.

Passo 2

Para encontrar o número ótimo de vendedores, resolvemos a equação
raiztfrac485x=2+raiz4x+40
Elevando ao quadrado:
485x = l(2+raiz4x+40r)^2 =4 +4raiz4x+40+4x+40 =4x+44+4raiz4x+40
Isolando a raiz:
485x - (4x+44) = 4raiz4x+40
Elevando novamente ao quadrado e resolvendo, obtemos x=15 (descartamos raiz negativa).

Passo 3

Agora calculamos o lucro máximo:
Separando a integral
P(15)=integral0^15l(2+raiz4t+40-raiztfrac485tr)dt =integral0^152,dt + integral0^15raiz4t+40,dt - integral0^15raiztfrac485t,dt
Cada termo:
integral0^152,dt=30,
integral0^15raiz4t+40,dt = 16l[(4t+40)^3/2r]0^15 = 16(1000-40^3/2) =124.5,
integral0^15raiztfrac485t,dt = raiztfrac48523(15)^3/2 =120
Somando e subtraindo:
P(15)=30 +124.5 -120 =34.5 (mil reais)

Resposta

Número de vendedores adicionais: 15; Lucro máximo: 34,50 mil reais.

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