a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
e
(a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano
, mostre que
e
formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
c. Calculando o wronskiano
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Passo 1
O enunciado pede soluções em séries de potências da EDO 2 y’’ + (x+1) y’ + 3 y = 0 em torno de x₀=2, e queremos a relação de recorrência, os quatro primeiros termos de duas soluções independentes, o wronskiano em x₀ e, se possível, o termo geral. Para centrar a série em x₀=2, definimos t=x−2 e supomos y(t)=∑ₙ₌₀^∞ aₙ tⁿ. Assim x=t+2 e x+1=t+3.
Passo 2
Calculamos as derivadas em t:
Passo 3
Substituindo na EDO e coletando potências t^m obtemos para cada m≥0:
$$a_{n+2}=-\frac{(n+3)a_n+3(n+1)a_{n+1}}{2(n+2)(n+1)},
quad n\ge0.$$
Passo 4
Para construir duas soluções básicas escolhemos (i) a₀=1, a₁=0 e (ii) a₀=0, a₁=1 e aplicamos a recorrência até termos pelo menos quatro coeficientes não-nulos. Calculando para y₁ (a₀=1,a₁=0) e y₂ (a₀=0,a₁=1) obtemos os quatro primeiros termos não-nulos:
y₁: a₀=1, a₂=−3/4, a₃=3/8, a₄=1/64 →
y₁: a₀=1, a₂=−3/4, a₃=3/8, a₄=1/64 →
y₂: a₁=1, a₂=−3/4, a₃=1/24, a₄=9/64 →
Passo 5
O wronskiano avaliado em x₀ (t=0) é W(y₁,y₂)(2)=y₁(0)y₂’(0)−y₂(0)y₁’(0)=1·1−0·0=1≠0, logo são independentes. Como termo geral temos apenas a recorrência acima, não havendo forma fechada simples para a_n além desse laço.
Resposta
A relação de recorrência é
As duas soluções em torno de x₀=2 (com t=x−2) começam:
O wronskiano em x₀=2 é W=1≠0, então y₁,y₂ formam um conjunto fundamental. O termo geral dos coeficientes está dado pela recorrência acima.