Uma pequena esfera é lançada do alto de um muro com altura h0=3,0 m acima do solo e com uma velocidade horizontal v0 de módulo 5 m / s. Considere desprezível o atrito da esfera com o ar e trate a esfera como um ponto. Suponha a aceleração da gravidade g=10 m / s^2. Use o sistema de coordenadas da figura abaixo, com vetores unitários imath e jmath dados nas direções de x e de y, respectivamente.
Determine o tempo que a esfera leva para que sua altura em relação ao solo seja igual a h=1,0 m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de movimento de projéteis! O problema fala sobre uma esfera que é lançada horizontalmente de um muro de 3 metros de altura, com uma velocidade inicial de 5 metros por segundo. Queremos descobrir em quanto tempo a esfera estará a 1 metro do chão. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento vertical sob a influência da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o movimento vertical da esfera. Como a esfera é lançada horizontalmente, a velocidade inicial na direção vertical é zero. A única força atuando na esfera na vertical é a gravidade, que acelera a esfera para baixo com .

Passo 3

Vamos usar a equação do movimento vertical que relaciona a posição, a velocidade inicial, o tempo e a aceleração:
y(t) = y0 + vy0 t - 12 g t^2
Aqui:
  • é a altura da esfera no tempo ,
  • é a altura inicial,
  • é a velocidade inicial na vertical (já que o lançamento é horizontal),
  • é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Queremos encontrar o tempo 1 = 3 + 0 cdot t - 12 cdot 10 cdot t^2 quando a altura 1 = 3 - 5 t^2 for igual a 1 metro. Então, substituímos esses valores na equação:
Simplificando:

Passo 5

Vamos isolar 1 - 3 = -5 t^2 -2 = -5 t^2 t^2 = 25 :

Passo 6

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar t = raiz25 approx 0,63 , segundos :

Resposta

O tempo que a esfera leva para atingir uma altura de 1 metro acima do solo é aproximadamente 0,63 segundos.

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