Uma pedra é lançada para baixo sobre a água com velocidade igual a
, onde
é uma constante. Supondo que a relação entre a resistência do fluido e a velocidade seja
:
a) Mostre que a velocidade da pedra em função do tempo pode ser escrita como:
b) Faça uma análise desse resultado. Como exemplo, verifique o comportamento da velocidade para
muito grande. Faça o gráfico de
.
a) Mostre que a velocidade da pedra em função do tempo pode ser escrita como:
Passo 1
Então, o exercício diz que a gente arremessa uma pedra para baixo com velocidade inicial igual a
e que a resistência do fluido vale
.
Conteúdo: mecânica (segunda lei de Newton) e equações diferenciais de 1ª ordem.
O que precisamos:
• Montar a equação .
• Resolver essa equação para achar .
• Usar a condição inicial .
• Analisar o comportamento de para
e esboçar o gráfico.
Conteúdo: mecânica (segunda lei de Newton) e equações diferenciais de 1ª ordem.
O que precisamos:
• Montar a equação
• Resolver essa equação para achar
• Usar a condição inicial
• Analisar o comportamento de
Passo 2
Aplicando a segunda lei de Newton para a pedra caindo para baixo (força peso pra baixo, resistência pra cima):
Isso é uma equação diferencial de 1ª ordem, linear ou separável.
Passo 3
Vamos usar separação de variáveis. Primeiro escrevo:
Agora integramos dos dois lados:
Para a integral da esquerda, faço
, logo
, ou seja
.
Então a igualdade vira
Multiplico por
:
Exponenciando:
onde
.
Passo 4
Isolando
:
Agora uso
:
Substituindo em
:
Passo 5
Agora, para
, o termo exponencial some:
Ou seja, a pedra atinge uma velocidade terminal
.
Passo 6
Gráfico qualitativo de
versus
:
- Em
, . - A partir daí,
decai exponencialmente em direção a .
Desenho:
| ____ mg/k
| /
v | /
| /
3mg/k |‾‾‾‾‾‾/
|
±--------------- t
Resposta
Expressão final da velocidade:
Para
,
(velocidade terminal). O gráfico
vs.
é uma curva decrescente exponencial que sai de
em
e se aproxima de
.