Uma pedra é lançada para baixo sobre a água com velocidade igual a 3 mg / k, onde k é uma constante. Supondo que a relação entre a resistência do fluido e a velocidade seja f=k v:
a) Mostre que a velocidade da pedra em função do tempo pode ser escrita como:
vy=2 m gk(12+e^-(k / m) t)
b) Faça uma análise desse resultado. Como exemplo, verifique o comportamento da velocidade para t muito grande. Faça o gráfico de v times t.

Passo 1

Então, o exercício diz que a gente arremessa uma pedra para baixo com velocidade inicial igual a e que a resistência do fluido vale .
Conteúdo: mecânica (segunda lei de Newton) e equações diferenciais de 1ª ordem.
O que precisamos:
• Montar a equação .
• Resolver essa equação para achar .
• Usar a condição inicial .
• Analisar o comportamento de para e esboçar o gráfico.

Passo 2

Aplicando a segunda lei de Newton para a pedra caindo para baixo (força peso pra baixo, resistência pra cima):
m,dvdt = mg - k,v
Isso é uma equação diferencial de 1ª ordem, linear ou separável.

Passo 3

Vamos usar separação de variáveis. Primeiro escrevo:
dvdt = g - km,v Longrightarrow dvg - tfrackmv = dt
Agora integramos dos dois lados:
integral dvg - tfrackmv = integral dt
Para a integral da esquerda, faço integral dvg - tfrackmv = integral -mk,duu = -mkln|u| + C = -mklnl(g - tfrackmvr) + C , logo -mkln!l(g - tfrackmvr) = t + C1 , ou seja ln!l(g - tfrackmvr) = -km,t + C2 .
g - tfrackmv = D,e^-tfrackmt,
Então a igualdade vira
Multiplico por :
Exponenciando:
onde .

Passo 4

Isolando tfrackmv = g - D,e^-tfrackmt Longrightarrow v(t) = mk,g - mk,D,e^-tfrackmt = mgk - mDk,e^-tfrackmt :
3mgk = mgk - mDk Longrightarrow -mDk = 2,mgk Longrightarrow D = -2g
Agora uso v(t) = mgk - m(-2g)k,e^-tfrackmt = mgk + 2mgk,e^-tfrackmt = 2mgkl(tfrac12 + e^-tfrackmtr) :
Substituindo em :

Passo 5

Agora, para limttoinftyv(t) = 2mgkl(tfrac12 + 0r) = mgk , o termo exponencial some:
Ou seja, a pedra atinge uma velocidade terminal .

Passo 6

Gráfico qualitativo de versus :
  • Em , .
  • A partir daí, decai exponencialmente em direção a .
    Desenho:
    | ____ mg/k
    | /
    v | /
    | /
    3mg/k |‾‾‾‾‾‾/
    |
    ±--------------- t

Resposta

Expressão final da velocidade:
boxedvy(t)=2,m,gkl(tfrac12+e^-tfrackmtr)
Para , (velocidade terminal). O gráfico vs. é uma curva decrescente exponencial que sai de em e se aproxima de .

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