Um resistor de 4,0 \mathrm{M} \Omega e um capacitor de 1,0 \mu \mathrm{~F} serão ligados em série a uma fonte de fem \operatorname{com} \varepsilon=4,0 \mathrm{~V}. O capacitor encontra-se inicialmente descarregado. 1,0 s depois de feita a ligação, determine:
a) a constante de tempo \tau;
b) a corrente no circuito;
c) a carga armazenada no capacitor nesse instante. R.: 4 \mathrm{~s} ; 7,79 \times 10^{-7} \mathrm{~A} ; 8.85 \times 10^{-7} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RC em série com resistência 4{,}0\\ \mathrm{M}\Omega e capacitância 1{,}0\\ \mu\mathrm{F}, ligado a uma fonte de fem \varepsilon=4{,}0\\ \mathrm{V}. O capacitor está inicialmente descarregado. Após 1{,}0\\ \mathrm{s} de fechado o circuito, pede-se:
a) a constante de tempo \tau;
b) a corrente i(1{,}0\\ \mathrm{s});
c) a carga q(1{,}0\\ \mathrm{s}).
Vamos usar as fórmulas do regime transiente de um circuito RC.

Passo 2

A constante de tempo de um circuito RC em série é
\tau = R\,C
onde \tau indica o tempo característico para a resposta do circuito. Substituindo R=4{,}0\times10^{6}\\ \Omega e C=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{F} resulta em
\tau = 4{,}0\times10^{6}\\ \Omega \;\times\; 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{F} =4\\ \mathrm{s}.

Passo 3

No regime de carga, a corrente decai exponencialmente segundo
i(t)=\frac{\varepsilon}{R}\,e^{-t/\tau}.
Para t=1{,}0\\ \mathrm{s}, com \varepsilon=4{,}0\\ \mathrm{V}, R=4{,}0\times10^{6}\\ \Omega e \tau=4\\ \mathrm{s}, temos
i(1{,}0\\ \mathrm{s}) =\frac{4{,}0}{4{,}0\times10^{6}}\;e^{-1/4} =1{,}0\times10^{-6}\;e^{-0{,}25} \approx7{,}79\times10^{-7}\\ \mathrm{A}.

Passo 4

A carga no capacitor cresce como
q(t)=C\,\varepsilon\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr).
Logo, para t=1{,}0\\ \mathrm{s},
q(1{,}0\\ \mathrm{s}) =1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{F}\;\times\;4{,}0\\ \mathrm{V}\;\bigl(1-e^{-1/4}\bigr) =4{,}0\times10^{-6}\,(1-0{,}7788) \approx8{,}85\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.

Resposta

a) \tau=4\\ \mathrm{s}.
b) i(1{,}0\\ \mathrm{s})\approx7{,}79\times10^{-7}\\ \mathrm{A}.
c) q(1{,}0\\ \mathrm{s})\approx8{,}85\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.

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