Numa pequena ilha, há 100 pessoas que trabalham na única empresa ali existente. Seus salários (em moeda local) têm a seguinte distribuição de frequências:
Salário Frequência
(R
) 50,00$ 30
(R
) 100,00$ 60
(R
) 150,00$ 10
a) Qual a média dos salários das 100 pessoas?
b) Qual o desvio padrão e a variância dos salários?
c) Qual o coeficiente de variação dessa distribuição?
d) Qual é a amplitude total?
e) Qual o \mathrm{P}_{25} e o \mathrm{P}_{75} ?

  1. { }^{1} Exercícios retirados do livro Matemática Completa, Giovanni e Bonjorno.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de salários de 100 pessoas em três classes com suas frequências e pede várias medidas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (pegos do enunciado):
  • Salários e frequências:
    • Salário R\$\,50,00 com frequência 30.
    • Salário R\$\,100,00 com frequência 60.
    • Salário R\$\,150,00 com frequência 10.
  • Total de observações: N=100.
O enunciado pede:
a) A média dos salários das 100 pessoas.
b) A variância e o desvio padrão dos salários.
c) O coeficiente de variação dessa distribuição.
d) A amplitude total (range).
e) Os percentis \mathrm{P}_{25} e \mathrm{P}_{75}.

Passo 2

Vamos calcular a média aritmética da distribuição de frequência. Primeiro a fórmula e a ideia por trás dela.
  • Ideia: a média é o valor médio ponderado pelos números de pessoas em cada salário.
  • Fórmula para média em tabela de frequência (populacional):
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i} x_i f_i,
onde x_i é o valor do salário da i-ésima classe e f_i sua frequência, e N=\sum_i f_i.
Aplicando com os dados:
\sum_i x_i f_i = 50\cdot30 + 100\cdot60 + 150\cdot10.
Calculemos cada produto:
50\cdot30 = 1500,\qquad 100\cdot60 = 6000,\qquad 150\cdot10 = 1500.
Somando:
\sum_i x_i f_i = 1500+6000+1500 = 9000.
Agora a média:
\bar{x}=\frac{9000}{100}=90.
Portanto a média dos salários é R\$\,90,00. (Isso significa que, se redistribuíssemos os salários igualmente entre as 100 pessoas, cada uma receberia R\$\,90,00.)

Passo 3

Agora vamos calcular a variância. Vou usar a definição de variância populacional (porque temos a população inteira de 100 pessoas):
  • Fórmula conveniente (usada com frequência em tabelas):
\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_i x_i^2 f_i - \bar{x}^{\,2},
onde \sigma^2 é a variância populacional.
Primeiro calculamos \dfrac{1}{N}\sum_i x_i^2 f_i. Calcule os quadrados e os produtos:
50^2\cdot30 = 2500\cdot30 = 75{,}000,
100^2\cdot60 = 10{,}000\cdot60 = 600{,}000,
150^2\cdot10 = 22{,}500\cdot10 = 225{,}000.
Somando:
\sum_i x_i^2 f_i = 75{,}000 + 600{,}000 + 225{,}000 = 900{,}000.
Dividindo por N=100:
\frac{1}{N}\sum_i x_i^2 f_i = \frac{900{,}000}{100} = 9{,}000.
Agora usando a fórmula da variância:
\sigma^2 = 9{,}000 - \bar{x}^{\,2} = 9{,}000 - 90^2.
Como 90^2 = 8{,}100, obtemos
\sigma^2 = 9{,}000 - 8{,}100 = 900.

Passo 4

Cálculo do desvio padrão:
  • Definição: o desvio padrão populacional \sigma é a raiz quadrada da variância:
\sigma = \sqrt{\sigma^2}.
Com \sigma^2 = 900,
\sigma = \sqrt{900} = 30.
Interpretação intuitiva: em média os salários se desviam R\$\,30,00 da média de R\$\,90,00.

Passo 5

Cálculo do coeficiente de variação (CV):
  • O coeficiente de variação é definido por
\mathrm{CV} = \frac{\sigma}{\bar{x}}.
É comum expressá-lo em porcentagem: \mathrm{CV}\times100\%.
Aqui:
\mathrm{CV} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333.
Em porcentagem:
\mathrm{CV}\approx 33{,}33\%.
Interpretando: o desvio padrão corresponde a cerca de 33{,}33\% da média — indica a variabilidade relativa dos salários.

Passo 6

Cálculo da amplitude total (range):
  • Definição: amplitude total = maior valor - menor valor.
Os valores observados são 50, 100, 150. Assim:
\text{amplitude} = 150 - 50 = 100.
Unidade: R\$\,100,00.

Passo 7

Cálculo dos percentis \mathrm{P}_{25} e \mathrm{P}_{75}:
  • Para dados em tabela discreta, uma definição prática é: \mathrm{P}_p é o menor valor x tal que a frequência acumulada relativa é pelo menos p. Em termos absolutos, procura-se o menor valor cujo acumulado \ge p\% \times N.
Aqui N=100. Calculamos as frequências acumuladas:
  • Até 50: acumulada =30.
  • Até 100: acumulada =30+60=90.
  • Até 150: acumulada =100.
Para \mathrm{P}_{25}: queremos o menor salário com acumulada \ge 25. Como a acumulada em 50 é 30\ge25, segue que
\mathrm{P}_{25}=50.
Para \mathrm{P}_{75}: queremos acumulada \ge75. A acumulada em 50 é 30<75, mas em 100 é 90\ge75, então
\mathrm{P}_{75}=100.
(Observação: em distribuições discretas como esta, os percentis caem exatamente nos pontos de salário disponíveis; outra convenção poderia interpolar, mas a prática comum para dados categóricos é escolher o menor valor com acumulada suficiente — como fizemos.)

Resposta

a) \bar{x}=R\$\,90,00
b) \sigma^{2}=900 e \sigma=30
c) \mathrm{CV}=\dfrac{30}{90}=\dfrac{1}{3}\approx0{,}3333\approx33{,}33\%
d) Amplitude total =R\$\,100,00
e) \mathrm{P}_{25}=R\$\,50,00
\mathrm{P}_{75}=R\$\,100,00

Exercícios relacionados