Numa pequena ilha, há 100 pessoas que trabalham na única empresa ali existente. Seus salários (em moeda local) têm a seguinte distribuição de frequências:
Salário
Frequência
(R
) 50,00$
30
(R
) 100,00$
60
(R
) 150,00$
10
a) Qual a média dos salários das 100 pessoas?
b) Qual o desvio padrão e a variância dos salários?
c) Qual o coeficiente de variação dessa distribuição?
d) Qual é a amplitude total?
e) Qual o
e o
?
-
Exercícios retirados do livro Matemática Completa, Giovanni e Bonjorno.
| Salário | Frequência |
| (R | |
| ) 50,00$ | 30 |
| (R | |
| ) 100,00$ | 60 |
| (R | |
| ) 150,00$ | 10 |
c) Qual o coeficiente de variação dessa distribuição?
d) Qual é a amplitude total?
e) Qual o
Exercícios retirados do livro Matemática Completa, Giovanni e Bonjorno.
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de salários de 100 pessoas em três classes com suas frequências e pede várias medidas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (pegos do enunciado):
- Salários e frequências:
- Salário
com frequência . - Salário
com frequência . - Salário
com frequência .
- Salário
- Total de observações:
.
O enunciado pede:
a) A média dos salários das 100 pessoas.
b) A variância e o desvio padrão dos salários.
c) O coeficiente de variação dessa distribuição.
d) A amplitude total (range).
e) Os percentis e
.
a) A média dos salários das 100 pessoas.
b) A variância e o desvio padrão dos salários.
c) O coeficiente de variação dessa distribuição.
d) A amplitude total (range).
e) Os percentis
Passo 2
Vamos calcular a média aritmética da distribuição de frequência. Primeiro a fórmula e a ideia por trás dela.
- Ideia: a média é o valor médio ponderado pelos números de pessoas em cada salário.
- Fórmula para média em tabela de frequência (populacional):
onde
é o valor do salário da i-ésima classe e
sua frequência, e
.
Aplicando com os dados:
Calculemos cada produto:
Somando:
Agora a média:
Portanto a média dos salários é
. (Isso significa que, se redistribuíssemos os salários igualmente entre as 100 pessoas, cada uma receberia
.)
Passo 3
Agora vamos calcular a variância. Vou usar a definição de variância populacional (porque temos a população inteira de 100 pessoas):
- Fórmula conveniente (usada com frequência em tabelas):
onde
é a variância populacional.
Primeiro calculamos
. Calcule os quadrados e os produtos:
Somando:
Dividindo por
:
Agora usando a fórmula da variância:
Como
, obtemos
Passo 4
Cálculo do desvio padrão:
- Definição: o desvio padrão populacional
é a raiz quadrada da variância:
Com
,
Interpretação intuitiva: em média os salários se desviam
da média de
.
Passo 5
Cálculo do coeficiente de variação (CV):
- O coeficiente de variação é definido por
É comum expressá-lo em porcentagem:
.
Aqui:
Em porcentagem:
Interpretando: o desvio padrão corresponde a cerca de
da média — indica a variabilidade relativa dos salários.
Passo 6
Cálculo da amplitude total (range):
- Definição: amplitude total
maior valor menor valor.
Os valores observados são
. Assim:
Unidade:
.
Passo 7
Cálculo dos percentis
e
:
- Para dados em tabela discreta, uma definição prática é:
é o menor valor tal que a frequência acumulada relativa é pelo menos . Em termos absolutos, procura-se o menor valor cujo acumulado .
Aqui
. Calculamos as frequências acumuladas:
- Até
: acumulada . - Até
: acumulada . - Até
: acumulada .
Para
: queremos o menor salário com acumulada
. Como a acumulada em
é
, segue que
Para
: queremos acumulada
. A acumulada em
é
, mas em
é
, então
(Observação: em distribuições discretas como esta, os percentis caem exatamente nos pontos de salário disponíveis; outra convenção poderia interpolar, mas a prática comum para dados categóricos é escolher o menor valor com acumulada suficiente — como fizemos.)
Resposta
a)
b) e
c)
d) Amplitude total
e)
b)
c)
d) Amplitude total
e)