As velocidades máximas das cinco voltas dadas em um teste de Fórmula 1, em km/h, foram: 190, 198, 196, 204 e 202. Nessas condições, determine:
a) A média das velocidades;
b) O desvio padrão e a variância;
c) A amplitude total;
d) O coeficiente de variação.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede.
  • Velocidades (em km/h) observadas nas cinco voltas: 190,\;198,\;196,\;204,\;202.
  • O enunciado pede:
    a) a média das velocidades;
    b) o desvio padrão e a variância;
    c) a amplitude total;
    d) o coeficiente de variação.

Passo 2

O que é a média aritmética e como calculamos aqui.
  • Definição: a média aritmética de um conjunto de n valores x_1,x_2,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,
onde \bar{x} é a média, n é o número de observações e x_i são as observações.
  • Aplicando aos dados: primeiro somar todos os valores.
\sum_{i=1}^{5}x_i = 190+198+196+204+202 = 990.
  • Dividindo pelo número de voltas n=5:
\bar{x}=\frac{990}{5}=198\\ \text{km/h}.
Explicação leve: a média é o valor “central” que representa, em termos de soma, todas as voltas igualmente.

Passo 3

Escolha da fórmula de variância e desvio padrão (populacional vs amostral) e justificativa.
  • Definição geral (populacional): a variância populacional é
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,
e o desvio padrão populacional é \sigma=\sqrt{\sigma^2}.
  • Justificativa da escolha: como temos todas as cinco voltas de um teste específico (não estamos tratando isso como uma amostra aleatória de uma população maior), usamos a fórmula populacional (divisão por n), que é a mais direta e básica para descrever a dispersão dos dados que temos.

Passo 4

Cálculo passo a passo das diferenças, quadrados e soma.
  • Calcular as diferenças x_i-\bar{x} usando \bar{x}=198:
190-198=-8,\quad 198-198=0,\quad 196-198=-2,\quad 204-198=6,\quad 202-198=4.
  • Elevar ao quadrado cada diferença:
(-8)^2=64,\quad 0^2=0,\quad (-2)^2=4,\quad 6^2=36,\quad 4^2=16.
  • Somar os quadrados:
\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})^2 = 64+0+4+36+16 = 120.

Passo 5

Cálculo da variância e do desvio padrão (valores e unidades).
  • Variância populacional:
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{120}{5}=24\\ (\text{km/h})^2.
Observação de unidades: a variância tem unidade de velocidade ao quadrado, aqui (\text{km/h})^2.
  • Desvio padrão (raiz quadrada da variância):
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\approx4,898979\\ \text{km/h}.
  • Para uso prático, arredondar o desvio padrão para duas casas decimais dá \sigma\approx4,90\\ \text{km/h}.

Passo 6

Cálculo da amplitude total.
  • Definição: amplitude total A é a diferença entre o maior e o menor valor observados.
  • Aplicando:
A=\max(x_i)-\min(x_i)=204-190=14\\ \text{km/h}.

Passo 7

Cálculo do coeficiente de variação (CV) e interpretação curta.
  • Definição: o coeficiente de variação mede a dispersão relativa e é dado por
\text{CV}=\frac{\sigma}{\bar{x}}\times100\%.
Aqui usamos \sigma=\sqrt{24} e \bar{x}=198.
  • Cálculo:
\text{CV}=\frac{\sqrt{24}}{198}\times100\%\approx\frac{4,898979}{198}\times100\%\approx2,4747\%.
  • Arredondando para duas casas decimais:
\text{CV}\approx2,47\%.
Interpretação rápida e motivadora: isso significa que a variação típica das voltas é pequena em relação à média — ou seja, as voltas foram bem consistentes; você tá indo bem!

Resposta

a) \bar{x}=198\\ \text{km/h}
b) \sigma^2=24\\ (\text{km/h})^2,\quad \sigma=2\sqrt{6}\approx4,90\\ \text{km/h}
c) A=14\\ \text{km/h}
d) \text{CV}\approx2,47\%

Exercícios relacionados