Calcule o desvio padrão, A amplitude total e o coeficiente de variação da seguinte distribuição:
Classe f_{i}
[0,4[ 2
[4,8[ 6
[8,12[ 8
[12,16[ 3
[16,20[ 1

Passo 1

O enunciado pede três quantidades para a distribuição por classes dada:
  • Calcular o desvio padrão.
  • Calcular a amplitude total.
  • Calcular o coeficiente de variação.
Dados (classes e frequências):
  • Classe [0,4[ com f_1=2.
  • Classe [4,8[ com f_2=6.
  • Classe [8,12[ com f_3=8.
  • Classe [12,16[ com f_4=3.
  • Classe [16,20[ com f_5=1.
Observação: as classes são contínuas e têm amplitude igual; a distribuição está em forma de tabela de frequência por classes. Vou usar os pontos médios das classes como representantes das observações dentro de cada classe.

Passo 2

Explicando o método e as fórmulas (com o que cada símbolo significa):
  • Para dados agrupados por classes, usa-se o ponto médio de cada classe como valor representativo. Denotar x_i o ponto médio da i-ésima classe e f_i sua frequência.
  • O número total de observações é N=\sum_i f_i.
  • A média aritmética (estimada) é dada por
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_i f_i x_i,
onde \bar{x} é a média, f_i é a frequência da i-ésima classe e x_i é o ponto médio da i-ésima classe.
  • A variância populacional estimada (usada quando tratamos a tabela como a distribuição inteira) é
\sigma^{2}=\frac{1}{N}\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^{2},
e o desvio padrão é \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}.
  • O coeficiente de variação (CV) é
\mathrm{CV}=\frac{\sigma}{\bar{x}}\times100\%.
Escolhi a fórmula com divisão por N (variância populacional) porque a tabela descreve a distribuição completa das observações (não foi indicado que se trata de uma amostra a ajustar com N-1).

Passo 3

Calcular os pontos médios x_i e os produtos f_i x_i. O ponto médio de uma classe [a,b[ é \dfrac{a+b}{2}.
  • Para [0,4[: x_1=\dfrac{0+4}{2}=2, f_1 x_1 = 2\cdot2=4.
  • Para [4,8[: x_2=\dfrac{4+8}{2}=6, f_2 x_2 = 6\cdot6=36.
  • Para [8,12[: x_3=\dfrac{8+12}{2}=10, f_3 x_3 = 8\cdot10=80.
  • Para [12,16[: x_4=\dfrac{12+16}{2}=14, f_4 x_4 = 3\cdot14=42.
  • Para [16,20[: x_5=\dfrac{16+20}{2}=18, f_5 x_5 = 1\cdot18=18.
Agora somar as frequências e os produtos:
N=\sum_i f_i = 2+6+8+3+1=20,
\sum_i f_i x_i = 4+36+80+42+18=180.

Passo 4

Calcular a média \bar{x}:
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_i f_i x_i=\frac{180}{20}=9.
Interpretação rápida: a média aproximada da distribuição (usando os pontos médios) é \bar{x}=9.

Passo 5

Calcular os termos f_i (x_i-\bar{x})^{2} para a variância:
  • Para x_1=2: x_1-\bar{x}=2-9=-7, (x_1-\bar{x})^{2}=49, f_1 (x_1-\bar{x})^{2}=2\cdot49=98.
  • Para x_2=6: x_2-\bar{x}=6-9=-3, (x_2-\bar{x})^{2}=9, f_2 (x_2-\bar{x})^{2}=6\cdot9=54.
  • Para x_3=10: x_3-\bar{x}=10-9=1, (x_3-\bar{x})^{2}=1, f_3 (x_3-\bar{x})^{2}=8\cdot1=8.
  • Para x_4=14: x_4-\bar{x}=14-9=5, (x_4-\bar{x})^{2}=25, f_4 (x_4-\bar{x})^{2}=3\cdot25=75.
  • Para x_5=18: x_5-\bar{x}=18-9=9, (x_5-\bar{x})^{2}=81, f_5 (x_5-\bar{x})^{2}=1\cdot81=81.
Somando:
\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^{2}=98+54+8+75+81=316.

Passo 6

Calcular a variância e o desvio padrão (populacionais):
\sigma^{2}=\frac{1}{N}\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^{2}=\frac{316}{20}=15,8.
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{15,8}\approx3,975.
Arredondei o desvio padrão para três casas decimais: \sigma\approx3,975.

Passo 7

Calcular a amplitude total (alcance, range): é a diferença entre o valor máximo e o mínimo da variável. Usando os extremos das classes:
\text{Amplitude total}=x_{\max}-x_{\min}=20-0=20.

Passo 8

Calcular o coeficiente de variação:
\mathrm{CV}=\frac{\sigma}{\bar{x}}\times100\%=\frac{3,975}{9}\times100\%\approx44,17\%.
(O CV dá a variação relativa em porcentagem; aqui resulta em aproximadamente 44,17\%.)

Resposta

Desvio padrão \sigma \approx 3,975
Amplitude total =20
Coeficiente de variação \mathrm{CV}\approx44,17\%

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