Calcule o desvio padrão, A amplitude total e o coeficiente de variação da seguinte distribuição:
Classe
2
6
8
3
1
| Classe |
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2 |
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6 |
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8 |
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3 |
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1 |
Passo 1
O enunciado pede três quantidades para a distribuição por classes dada:
- Calcular o desvio padrão.
- Calcular a amplitude total.
- Calcular o coeficiente de variação.
Dados (classes e frequências):
- Classe
com . - Classe
com . - Classe
com . - Classe
com . - Classe
com .
Observação: as classes são contínuas e têm amplitude igual; a distribuição está em forma de tabela de frequência por classes. Vou usar os pontos médios das classes como representantes das observações dentro de cada classe.
Passo 2
Explicando o método e as fórmulas (com o que cada símbolo significa):
- Para dados agrupados por classes, usa-se o ponto médio de cada classe como valor representativo. Denotar
o ponto médio da i-ésima classe e sua frequência. - O número total de observações é
. - A média aritmética (estimada) é dada por
onde
é a média,
é a frequência da i-ésima classe e
é o ponto médio da i-ésima classe.
- A variância populacional estimada (usada quando tratamos a tabela como a distribuição inteira) é
e o desvio padrão é
.
- O coeficiente de variação (CV) é
Escolhi a fórmula com divisão por
(variância populacional) porque a tabela descreve a distribuição completa das observações (não foi indicado que se trata de uma amostra a ajustar com
).
Passo 3
Calcular os pontos médios
e os produtos
. O ponto médio de uma classe
é
.
- Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , .
Agora somar as frequências e os produtos:
Passo 4
Calcular a média
:
Interpretação rápida: a média aproximada da distribuição (usando os pontos médios) é
.
Passo 5
Calcular os termos
para a variância:
- Para
: , , . - Para
: , , . - Para
: , , . - Para
: , , . - Para
: , , .
Somando:
Passo 6
Calcular a variância e o desvio padrão (populacionais):
Arredondei o desvio padrão para três casas decimais:
.
Passo 7
Calcular a amplitude total (alcance, range): é a diferença entre o valor máximo e o mínimo da variável. Usando os extremos das classes:
Passo 8
Calcular o coeficiente de variação:
(O CV dá a variação relativa em porcentagem; aqui resulta em aproximadamente
.)
Resposta
Desvio padrão
Amplitude total
Coeficiente de variação