Uma pequena moeda de 2 gramas é colocada a uma distância de 5 cm do centro do prato de um toca-discos. Observa-se que o prato completa 3 rotações no intervalo de tempo de 1 segundo. a) Qual o valor da força de atrito estático quando a moeda for colocada a uma distância de 5 cm do centro do prato? b) Qual o coeficiente de atrito estático entre a moeda e o prato? Considere g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas quando a moeda é colocada a uma distância de 5\\ \mathrm{cm} do centro do prato que gira:
  • (a) o valor da força de atrito estático que atua sobre a moeda;
  • (b) o coeficiente de atrito estático entre a moeda e o prato.
Informações dadas (vou transcrever em unidades do SI):
m=2\\ \mathrm{g}=0,002\\ \mathrm{kg},
r=5\\ \mathrm{cm}=0,05\\ \mathrm{m},
\text{o prato completa }3\text{ rotações em }1\\ \mathrm{s}\Rightarrow f=3\\ \mathrm{Hz},çõ
g=10\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Conceito importante (passo-a-passo didático): a moeda descreve um movimento circular uniforme. Para manter a moeda descrevendo a circunferência é necessária uma aceleração dirigida ao centro chamada aceleração centrípeta. As duas fórmulas equivalentes para essa aceleração são
a_c=\frac{v^2}{r}\quad\text{e}\quad a_c=\omega^2 r,
onde:
  • v é a velocidade tangencial da moeda (m/s);
  • \omega é a velocidade angular (rad/s);
  • r é o raio da trajetória (m).
A velocidade angular \omega relaciona-se com a frequência f por
\omega=2\pi f.
Vamos calcular \omega: como f=3,
\omega=2\pi\cdot 3=6\pi\\ \text{rad/s}\approx 6\cdot 3,1416\approx 18,85\\ \text{rad/s}.

Passo 3

Agora calculamos a aceleração centrípeta usando \displaystyle a_c=\omega^2 r.
Primeiro \omega^2=(6\pi)^2=36\pi^2. Então
a_c=\omega^2 r = 36\pi^2\cdot 0,05.
Para avaliar numericamente use \pi^2\approx 9,8696:
a_c \approx 36\cdot 9,8696\cdot 0,05 = (355,3056)\cdot 0,05 \approx 17,7653\\ \mathrm{m/s^2}.
Interpretação: a moeda precisa de uma aceleração de aproximadamente 17,77\\ \mathrm{m/s^2} dirigida ao centro para seguir o movimento circular.

Passo 4

Qual força fornece essa aceleração centrípeta? No plano horizontal, a força de atrito estático f_s é a força que aponta para o centro e fornece exatamente a força centrípeta necessária (desde que não haja deslizamento). Pela 2ª lei de Newton na direção radial:
f_s = m a_c.
Substituindo m=0,002\\ \mathrm{kg} e a_c\approx 17,7653\\ \mathrm{m/s^2},
f_s \approx 0,002\cdot 17,7653 \approx 0,0355306\\ \mathrm{N}.
Arredondando razoavelmente:
f_s \approx 0,036\\ \mathrm{N}\quad\text{(força de atrito estático necessária)}.çáá

Passo 5

Para encontrar o coeficiente de atrito estático \mu_s usamos que a força máxima de atrito estático que pode atuar sem deslizamento é
f_{s,\max}=\mu_s N,
onde N é a normal. Aqui a superfície é horizontal, então N é igual ao peso da moeda:
N=m g.
Se a moeda não desliza, a força de atrito que atua é f_s=m a_c e ela deve ser menor ou igual a \mu_s m g. Assim, o coeficiente mínimo necessário para evitar deslizamento é
\mu_s=\frac{f_s}{m g}=\frac{m a_c}{m g}=\frac{a_c}{g}.
Substituindo a_c\approx 17,7653\\ \mathrm{m/s^2} e g=10\\ \mathrm{m/s^2},
\mu_s \approx \frac{17,7653}{10}\approx 1,7765.
Arredondando:
\mu_s \approx 1,78.
Comentário prático: esse valor é maior que 1, ou seja, seria necessário um atrito muito alto para a moeda não escorregar — na prática isso significa que, a menos que a superfície seja muito pegajosa, a moeda tenderia a deslizar para fora.

Resposta

0,036\\ \mathrm{N}
1,78

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