1. (9 p) Considere o potencial de um elétron num poço quadrado infinito, centrado em x=0: V(x)=0 para -L / 2<x<L / 2, e \infty fora desta faixa. Mostre, que a função de onda \psi(x)=A \cdot \operatorname{sen} \frac{2 \pi x}{L} para -L / 2<x<L / 2, e 0 fora desta faixa, satisfaz a equação de Schrödinger e as condições de contorno. Quanto é a energia do elétron? Normalize a função de onda, isto é, determine a constante A. Dica: a primitiva de \operatorname{sen}^{2} x é \frac{1}{2}(x-\operatorname{sen} x \cdot \cos x).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede tarefas claras:
  • Potencial: V(x)=0 para -L/2 < x < L/2 e V(x)=\infty fora desse intervalo (poço quadrado infinito centrado em x=0).
  • Função proposta: \psi(x)=A\cdot \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right) para -L/2<x<L/2 e \psi(x)=0 fora desse intervalo.
  • Pedidos:
    1. Mostrar que \psi(x) satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo dentro do poço (onde V=0) e as condições de contorno impostas pelo potencial infinito.
    2. Determinar a energia E associada a essa função de onda.
    3. Normalizar a função de onda, ou seja, encontrar a constante A.
Não vou resolver nada ainda; só listei os dados e as perguntas para ficar bem claro o que precisamos fazer.

Passo 2

Qual é a equação que a função de onda deve satisfazer dentro do poço? A equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão é, em geral,
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} + V(x)\psi = E\psi.
Aqui, dentro do poço temos V(x)=0. Então a equação reduz-se a
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = E\psi
para -L/2<x<L/2. Nosso objetivo é verificar que a \psi(x) dada satisfaz essa equação e então encontrar E.
Explicação didática rápida: essa equação diz que a segunda derivada de \psi (curvatura da função) é proporcional a -\psi com fator que envolve E. Para funções senoidais a segunda derivada é proporcional a -da própria função, então faz sentido procurar soluções do tipo seno ou cosseno.

Passo 3

Calcular as derivadas de \psi(x). Definimos o número de onda
k=\frac{2\pi}{L}.
A função é \psi(x)=A\sin(kx) no interior. Então a primeira derivada é
\frac{d\psi}{dx}=A\cdot k\cos(kx),
e a segunda derivada é
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=A\cdot \frac{d}{dx}\big(k\cos(kx)\big)=A\cdot k\cdot(-k)\sin(kx)=-k^{2}A\sin(kx).
Em termos de \psi isso é simplesmente
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=-k^{2}\psi(x).
Explicação didática: usamos as derivadas básicas \frac{d}{dx}\sin(kx)=k\cos(kx) e \frac{d}{dx}\cos(kx)=-k\sin(kx). A propriedade chave é que a segunda derivada de \sin(kx) é -k^{2}\sin(kx).

Passo 4

Substituir \frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=-k^{2}\psi na equação de Schrödinger reduzida:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}(-k^{2}\psi)=E\psi.
Isso dá
\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\psi = E\psi.
Como \psi não é identicamente zero dentro do poço, podemos cancelar \psi e obter
E=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}.
Lembrando que k=\dfrac{2\pi}{L}, substituímos:
E=\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\frac{2\pi}{L}\right)^{2}=\frac{\hbar^{2}}{2m}\cdot\frac{4\pi^{2}}{L^{2}}=\frac{2\pi^{2}\hbar^{2}}{mL^{2}}.
Comentário didático: essa é a energia quantizada correspondente a esse modo senoidal. Podemos reconhecer que, para um poço de comprimento L, os níveis de energia usuais são proporcionais a n^{2}; aqui o fator k=(2\pi)/L corresponde efetivamente a n=2 do caso padrão E_{n}=n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}/(2mL^{2}) (veja Passo 7 para essa conexão).

Passo 5

Verificar as condições de contorno. Pelo potencial infinito fora do intervalo, a função de onda deve ser zero nas fronteiras e fora do poço: \psi(x)=0 para |x|\ge L/2. Nosso \psi é definida como zero fora do intervalo e dentro é A\sin(kx). Então verificamos os valores nos extremos:
\psi\Big(\pm\frac{L}{2}\Big)=A\sin\!\left(k\cdot\frac{L}{2}\right)=A\sin\!\left(\frac{2\pi}{L}\cdot\frac{L}{2}\right)=A\sin(\pi)=0.
Portanto \psi é contínua em cada ponto interno e toma o valor zero nas fronteiras, obedecendo às condições impostas pelo potencial infinito (a função deve se anular nas paredes). Conclusão: as condições de contorno estão satisfeitas.
Explicação didática: nas paredes de potencial infinito a probabilidade de encontrar a partícula fora do poço é zero, logo a onda deve anular-se nas fronteiras; nossa função senoidal com argumento (2\pi x/L) tem zeros exatamente em x=\pm L/2.

Passo 6

Normalizar a função: impormos
\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} |\psi(x)|^{2}\,dx = 1.
Como \psi é real dentro do poço, |\psi|^{2}=\psi^{2}=A^{2}\sin^{2}(kx). Assim
A^{2}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\sin^{2}(kx)\,dx=1.
Para calcular a integral, faço a substituição u=kx. Quando x=-\frac{L}{2}, u=-k\frac{L}{2}=-\pi. Quando x=\frac{L}{2}, u=\pi. E dx=du/k. Então
\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\sin^{2}(kx)\,dx=\frac{1}{k}\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}u\,du.
Usando a identidade ou a primitiva sugerida, sabemos que
\int \sin^{2}u\,du=\frac{1}{2}\big(u-\sin u\cos u\big).
Aplicando entre -\pi e \pi:
\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}u\,du=\frac{1}{2}\Big[(\pi-\sin\pi\cos\pi)-(-\pi-\sin(-\pi)\cos(-\pi))\Big].
Mas \sin\pi=0 e \sin(-\pi)=0, então isso fica
\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}u\,du=\frac{1}{2}(\pi-(-\pi))=\frac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi.
Portanto
\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\sin^{2}(kx)\,dx=\frac{\pi}{k}.
Como k=2\pi/L, temos \frac{\pi}{k}=\frac{\pi}{2\pi/L}=\frac{L}{2}. Logo a integral é L/2.
Voltando à condição de normalização:
A^{2}\cdot\frac{L}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad A^{2}=\frac{2}{L}.
Escolhendo A real e positivo (fase global irrelevante), obtemos
A=\sqrt{\frac{2}{L}}.
Explicação didática: a integral de \sin^{2} sobre um período simétrico dá metade do comprimento do intervalo, por isso aparece L/2. O fator A ajusta a área total (probabilidade) para 1.

Passo 7

Resumo e conexão com o índice n habitual (curtição didática curta): no modelo clássico do poço de largura L definido entre 0 e L as energias são
E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}},\quad n=1,2,\dots
Aqui, nossa função \sin\!\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right) corresponde, em termos de números de onda, ao caso com k=\dfrac{2\pi}{L}, que equivale a n=2 no esquema padrão (por isso a energia encontrada coincide com E_{2} do caso padrão):
E = \frac{2\pi^{2}\hbar^{2}}{mL^{2}} = \frac{4\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}} = E_{2}.
Isto só reforça que tudo bate com a intuição dos níveis quantizados.

Resposta

E=\dfrac{2\pi^{2}\hbar^{2}}{mL^{2}}
A=\sqrt{\dfrac{2}{L}}

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