- (9 p) Considere o potencial de um elétron num poço quadrado infinito, centrado em
para
, e
fora desta faixa. Mostre, que a função de onda
para
, e 0 fora desta faixa, satisfaz a equação de Schrödinger e as condições de contorno. Quanto é a energia do elétron? Normalize a função de onda, isto é, determine a constante
. Dica: a primitiva de
é
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede tarefas claras:
- Potencial:
para e fora desse intervalo (poço quadrado infinito centrado em ). - Função proposta:
para e fora desse intervalo. - Pedidos:
- Mostrar que
satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo dentro do poço (onde ) e as condições de contorno impostas pelo potencial infinito. - Determinar a energia
associada a essa função de onda. - Normalizar a função de onda, ou seja, encontrar a constante
.
- Mostrar que
Não vou resolver nada ainda; só listei os dados e as perguntas para ficar bem claro o que precisamos fazer.
Passo 2
Qual é a equação que a função de onda deve satisfazer dentro do poço? A equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão é, em geral,
Aqui, dentro do poço temos
. Então a equação reduz-se a
para
. Nosso objetivo é verificar que a
dada satisfaz essa equação e então encontrar
.
Explicação didática rápida: essa equação diz que a segunda derivada de
(curvatura da função) é proporcional a
com fator que envolve
. Para funções senoidais a segunda derivada é proporcional a
da própria função, então faz sentido procurar soluções do tipo seno ou cosseno.
Passo 3
Calcular as derivadas de
. Definimos o número de onda
A função é
no interior. Então a primeira derivada é
e a segunda derivada é
Em termos de
isso é simplesmente
Explicação didática: usamos as derivadas básicas
e
. A propriedade chave é que a segunda derivada de
é
.
Passo 4
Substituir
na equação de Schrödinger reduzida:
Isso dá
Como
não é identicamente zero dentro do poço, podemos cancelar
e obter
Lembrando que
, substituímos:
Comentário didático: essa é a energia quantizada correspondente a esse modo senoidal. Podemos reconhecer que, para um poço de comprimento
, os níveis de energia usuais são proporcionais a
; aqui o fator
corresponde efetivamente a
do caso padrão
(veja Passo 7 para essa conexão).
Passo 5
Verificar as condições de contorno. Pelo potencial infinito fora do intervalo, a função de onda deve ser zero nas fronteiras e fora do poço:
para
. Nosso
é definida como zero fora do intervalo e dentro é
. Então verificamos os valores nos extremos:
Portanto
é contínua em cada ponto interno e toma o valor zero nas fronteiras, obedecendo às condições impostas pelo potencial infinito (a função deve se anular nas paredes). Conclusão: as condições de contorno estão satisfeitas.
Explicação didática: nas paredes de potencial infinito a probabilidade de encontrar a partícula fora do poço é zero, logo a onda deve anular-se nas fronteiras; nossa função senoidal com argumento
tem zeros exatamente em
.
Passo 6
Normalizar a função: impormos
Como
é real dentro do poço,
. Assim
Para calcular a integral, faço a substituição
. Quando
,
. Quando
,
. E
. Então
Usando a identidade ou a primitiva sugerida, sabemos que
Aplicando entre
e
:
Mas
e
, então isso fica
Portanto
Como
, temos
. Logo a integral é
.
Voltando à condição de normalização:
Escolhendo
real e positivo (fase global irrelevante), obtemos
Explicação didática: a integral de
sobre um período simétrico dá metade do comprimento do intervalo, por isso aparece
. O fator
ajusta a área total (probabilidade) para 1.
Passo 7
Resumo e conexão com o índice
habitual (curtição didática curta): no modelo clássico do poço de largura
definido entre
e
as energias são
Aqui, nossa função
corresponde, em termos de números de onda, ao caso com
, que equivale a
no esquema padrão (por isso a energia encontrada coincide com
do caso padrão):
Isto só reforça que tudo bate com a intuição dos níveis quantizados.