A uma pequena mudança (perturbação) na condição inicial ou na própia equação diferencial, frequentemente corresponde a uma mudança radical na solução da nova equação. Compare as soluções dos problemas de valor inicial dados.
a) ld yd x=(y-1)^2 y(0)=1
b) ld yd x=(y-1)^2 y(0)=1,01

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dydx=(y-1)^2
com dois valores iniciais diferentes:
(a) y(0)=1
(b) y(0)=1,01
O conteúdo é EDO de primeira ordem separável. Vamos reconhecer soluções de equilíbrio e usar separação de variáveis quando necessário.

Passo 2

Para o caso (a), note que se y(x)=1 então
dydx=0
e
(y-1)^2=0,
logo y(x)=1 satisfaz a EDO e a condição inicial. Como o problema de valor inicial para EDOs de classe C^1 tem solução única, concluímos
y(x)=1

Passo 3

Para o caso (b), y(0)=1,01neq1, não estamos num ponto de equilíbrio, então separamos variáveis:
dy(y-1)^2=dx
Integrando ambos os lados:
integral dy(y-1)^2=integral dx
-1y-1=x+C
Impondo y(0)=1,01:
-11,01-1=0+C Longrightarrow C=-10,01=-100
Logo
-1y-1=x-100 Longrightarrow 1y-1=100-x Longrightarrow y(x)=1+1100-x

Passo 4

Comparando as soluções:
– Em (a) temos solução constante definida para todo x.
– Em (b) a solução cresce e explode em xto100^-.
Portanto, uma variação minúscula na condição inicial faz passar de uma solução global e estável para outra que se torna singular num ponto finito.

Resposta

(a) y(x)=1
(b) y(x)=1+dfrac1100-x

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