A uma pequena mudança (perturbação) na condição inicial ou na própia equação diferencial, frequentemente corresponde a uma mudança radical na solução da nova equação. Compare as soluções dos problemas de valor inicial dados.
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com dois valores iniciais diferentes:
(a)
(b)
O conteúdo é EDO de primeira ordem separável. Vamos reconhecer soluções de equilíbrio e usar separação de variáveis quando necessário.
(a)
(b)
O conteúdo é EDO de primeira ordem separável. Vamos reconhecer soluções de equilíbrio e usar separação de variáveis quando necessário.
Passo 2
Para o caso (a), note que se
então
e
logo
satisfaz a EDO e a condição inicial. Como o problema de valor inicial para EDOs de classe
tem solução única, concluímos
Passo 3
Para o caso (b),
, não estamos num ponto de equilíbrio, então separamos variáveis:
Integrando ambos os lados:
Impondo
:
Logo
Passo 4
Comparando as soluções:
– Em (a) temos solução constante definida para todo .
– Em (b) a solução cresce e explode em .
Portanto, uma variação minúscula na condição inicial faz passar de uma solução global e estável para outra que se torna singular num ponto finito.
– Em (a) temos solução constante definida para todo
– Em (b) a solução cresce e explode em
Portanto, uma variação minúscula na condição inicial faz passar de uma solução global e estável para outra que se torna singular num ponto finito.
Resposta
(a)
(b)
(b)