Q 30 Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
(\int e^{-2 x} \operatorname{sen}(x) \mathrm{d} x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral e^-2xsin(x),dx
usando integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = sin(x), dv = e^-2x,dx
então
du = cos(x),dx, v = integral e^-2x,dx = -tfrac12 e^-2x
Aplicando partes:
I = u,v - integral v,du = -tfrac12 e^-2xsin(x) - integrall(-tfrac12 e^-2xr)cos(x),dx
ou seja
I = -tfrac12 e^-2xsin(x) + tfrac12 integral e^-2xcos(x),dx
Defina
J = integral e^-2xcos(x),dx,
assim
I = -tfrac12 e^-2xsin(x) + tfrac12,J

Passo 3

Agora calculemos
J = integral e^-2xcos(x),dx
por partes, escolhendo
u = cos(x), dv = e^-2x,dx
logo
du = -sin(x),dx, v = -tfrac12 e^-2x
Assim
J = u,v - integral v,du = -tfrac12 e^-2xcos(x) - integrall(-tfrac12 e^-2xr)l(-sin(x)r),dx
J = -tfrac12 e^-2xcos(x) - tfrac12 integral e^-2xsin(x),dx = -tfrac12 e^-2xcos(x) - tfrac12,I

Passo 4

Substituindo J em
I = -tfrac12 e^-2xsin(x) + tfrac12,J
obtém-se
I = -tfrac12 e^-2xsin(x) + tfrac12l(-tfrac12 e^-2xcos(x) - tfrac12,Ir)
I = -tfrac12 e^-2xsin(x) - tfrac14 e^-2xcos(x) - tfrac14,I
Passando tfrac14 I para a esquerda:
I + tfrac14 I = -tfrac12 e^-2xsin(x) - tfrac14 e^-2xcos(x) Longrightarrow tfrac54 I = -tfrac12 e^-2xsin(x) - tfrac14 e^-2xcos(x)
Logo
I = 45l(-tfrac12 e^-2xsin(x) - tfrac14 e^-2xcos(x)r) = -tfrac25e^-2xsin(x) - tfrac15e^-2xcos(x) + C

Resposta

integral e^-2xsin(x),dx = -25e^-2xsin(x) - 15e^-2xcos(x) + C

Exercícios relacionados