Q 30 Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
(\int x^{3} e{x{2}} \mathrm{~d} x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^3e^x^2,dx
usando o método de integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Reescrevemos o integrando como
x^3e^x^2 = x^2cdotl(xe^x^2r).
Fazemos a escolha
u = x^2, dv = x,e^x^2,dx
Então
du = 2x,dx, v = integral x,e^x^2,dx

Passo 3

Para encontrar v, usamos substituição simples:
colocando t = x^2, temos dt = 2x,dx, logo
v = integral x,e^x^2,dx = 12integral e^t,dt = 12,e^t = 12,e^x^2

Passo 4

Aplicamos a fórmula de partes:
integral x^3e^x^2,dx = u,v - integral v,du = x^2cdot12 e^x^2 - integral l(12 e^x^2r),(2x,dx)
Isso simplifica para
12,x^2e^x^2 - integral x,e^x^2,dx
Mas já sabemos que
integral x,e^x^2,dx = 12,e^x^2.
Portanto
integral x^3e^x^2,dx = 12,x^2e^x^2 - 12,e^x^2 + C = e^x^22l(x^2-1r) + C

Resposta

integral x^3e^x^2,dx = e^x^22l(x^2-1r) + C

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