Uma pequena usina hidrelétrica drena água de uma represa através de uma tubulação de 1 m de diâmetro localizado 50 m abaixo da superfície da represa. A água desce 200 m até entrar em uma turbìna através de um bocal com
de diâmetro.
Qual a velocidade da água ao entrar na turbina?
Qual a velocidade da água ao entrar na turbina?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A gente precisa descobrir a velocidade da água quando ela entra na turbina de uma usina hidrelétrica. Para isso, vamos usar alguns conceitos de hidrodinâmica, como a Lei da Continuidade e a Equação de Bernoulli. Também vamos precisar das informações sobre os diâmetros das tubulações e as alturas envolvidas no problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei da Continuidade, que nos diz que, em um fluxo de água incompressível, o produto da área da seção transversal pela velocidade da água é constante ao longo do fluxo. Matematicamente, isso é representado por:
Onde:
- $ A_1 $ e $ A_2 $ são as áreas das seções nas tubulações de entrada e saída.
- $ v_1 $ e $ v_2 $ são as velocidades da água nessas seções.
Passo 3
Vamos calcular as áreas das duas tubulações. A área de um círculo é dada por:
Para a tubulação de entrada ($ d_1 = 1 $ m):
Para o bocal da turbina ($ d_2 = 0,5 $ m):
Passo 4
Agora, vamos usar a Equação de Bernoulli, que relaciona a velocidade e a altura nas duas seções da tubulação. A equação simplificada fica:
Assumindo que a pressão nas duas seções é a mesma ($ P_1 = P_2 $) e que $ h_1 = 50 $ m está abaixo de $ h_2 = 200 $ m (diferença de altura $ \Delta h = 200 - 50 = 150 $ m), a equação simplifica para:
Passo 5
Vamos combinar a Lei da Continuidade com a Equação de Bernoulli. Da continuidade:
Substituindo $ v_2 $ na equação de Bernoulli:
Passo 6
Vamos resolver a equação para $ v_1 $:
Passo 7
Agora que temos $ v_1 $, podemos encontrar $ v_2 $ usando a continuidade:
Resposta
A velocidade da água ao entrar na turbina é de aproximadamente 56 metros por segundo.