Uma pequena usina hidrelétrica drena água de uma represa através de uma tubulação de 1 m de diâmetro localizado 50 m abaixo da superfície da represa. A água desce 200 m até entrar em uma turbìna através de um bocal com 0,5 m de diâmetro.
Qual a velocidade da água ao entrar na turbina?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A gente precisa descobrir a velocidade da água quando ela entra na turbina de uma usina hidrelétrica. Para isso, vamos usar alguns conceitos de hidrodinâmica, como a Lei da Continuidade e a Equação de Bernoulli. Também vamos precisar das informações sobre os diâmetros das tubulações e as alturas envolvidas no problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei da Continuidade, que nos diz que, em um fluxo de água incompressível, o produto da área da seção transversal pela velocidade da água é constante ao longo do fluxo. Matematicamente, isso é representado por:
A1 cdot v1 = A2 cdot v2
Onde:
- $ A_1 $ e $ A_2 $ são as áreas das seções nas tubulações de entrada e saída.
- $ v_1 $ e $ v_2 $ são as velocidades da água nessas seções.

Passo 3

Vamos calcular as áreas das duas tubulações. A área de um círculo é dada por:
A = pi cdot (d2)^2
Para a tubulação de entrada ($ d_1 = 1 $ m):
d1 = 1 ²
Para o bocal da turbina ($ d_2 = 0,5 $ m):
A1 = pi cdot (12)^2 = pi cdot 0,25 = 0,25pi , m² ²

Passo 4

Agora, vamos usar a Equação de Bernoulli, que relaciona a velocidade e a altura nas duas seções da tubulação. A equação simplificada fica:
P1 + 12rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12rho v2^2 + rho g h2
Assumindo que a pressão nas duas seções é a mesma ($ P_1 = P_2 $) e que $ h_1 = 50 $ m está abaixo de $ h_2 = 200 $ m (diferença de altura $ \Delta h = 200 - 50 = 150 $ m), a equação simplifica para:
P1 = P2

Passo 5

Vamos combinar a Lei da Continuidade com a Equação de Bernoulli. Da continuidade:
v2 = A1A2 cdot v1 = 0,25pi0,0625pi cdot v1 = 4 v1
Substituindo $ v_2 $ na equação de Bernoulli:
v2
12 v1^2 + g cdot 150 = 12 (4 v1)^2
12 v1^2 + 9,81 cdot 150 = 12 cdot 16 v1^2

Passo 6

Vamos resolver a equação para $ v_1 $:
v1
12 v1^2 + 1471,5 = 8 v1^2
1471,5 = 8 v1^2 - 12 v1^2
1471,5 = 152 v1^2
v1^2 = 1471,5 cdot 215 = 294315 approx 196,2

Passo 7

Agora que temos $ v_1 $, podemos encontrar $ v_2 $ usando a continuidade:
v1

Resposta

A velocidade da água ao entrar na turbina é de aproximadamente 56 metros por segundo.

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