Um pequeno balão de raio R é inflado de maneira que seu raio oscila senoidalmente entre um valor mínimo R-De e um valor máximo R+De com frequência f. Mostre que a intensidade das ondas sonoras na superfície do balão pode ser calculada pela equação: I=2 pi^2 raizrho B f^2(De

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um balão que está sendo inflado de maneira que seu raio oscila de um valor mínimo ( R - De) para um máximo ( R + De) de forma senoidal, ou seja, com um movimento ondulatório. A frequência dessa oscilação é f. A gente precisa mostrar como calcular a intensidade das ondas sonoras na superfície do balão usando a equação dada. Para resolver isso, vamos precisar entender de ondas sonoras, intensidade de ondas e como a oscilação do balão afeta isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é intensidade de onda sonora. A intensidade ( I) é a quantidade de energia que uma onda transporta por unidade de área por unidade de tempo. Para ondas sonoras, ela depende da amplitude da oscilação e da frequência da onda.

Passo 3

Como o balão está oscilando seu raio senoidalmente, podemos descrever essa oscilação como:
R(t) = R + De
Aqui, R(t) é o raio do balão em um tempo t, R é o raio médio, De é a amplitude da oscilação, e f é a frequência da oscilação.

Passo 4

A velocidade com que o raio do balão está mudando é a derivada de R(t) em relação ao tempo:
v(t) = dR(t)dt = 2pi f De
Essa velocidade é importante porque está relacionada à velocidade das partículas na onda sonora gerada.

Passo 5

A intensidade da onda sonora pode ser calculada usando a seguinte expressão geral:
I = 12 rho v omega^2 A^2
Onde:
  • rho é a densidade do meio (no caso, o ar).
  • v é a velocidade das partículas na onda.
  • omega é a frequência angular, que é 2pi f.
  • A é a amplitude da oscilação.

Passo 6

Substituindo omega por 2pi f e v(t) pela expressão que encontramos:
I = 12 rho (2pi f De

Passo 7

Agora, considerando que a intensidade também depende do módulo de incompressibilidade B do ar, que relaciona a pressão e a densidade na onda sonora, ajustamos a equação para incluir essa relação. A expressão final fica:
I = 2 pi^2 raizrho B f^2(De

Resposta

A intensidade das ondas sonoras na superfície do balão é dada por:
I = 2 pi^2 raizrho B f^2(De

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