Uma galeria de águas pluviais de 1 , 0 m de diâmetro, n=0 , 0 1 3, declividade de fundo I0= 0 , 0 0 7 m / m, transporta em regime uniforme uma vazão de 0 , 8 5 m^3 / s. Determine:
a) A altura db) A tensão de cisalhamento média no fundo;
c) O tipo de escoamento, fluvial ou torrencial;
d) A declividade de fundo para que, com a mesma vazão, o escoamento uniforme seja crítico.
R: a) y0=0,454 m; b) tau0=16,107 N / m^2; c) Escoamento torrencial; d) Ic=0,00423 m / m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma galeria de águas pluviais com diâmetro de 1,0 metro, uma declividade de fundo (I₀) de 0,007 m/m e transporta uma vazão de 0,85 m³/s em regime uniforme. Precisamos descobrir quatro coisas: a altura do fluxo, a tensão de cisalhamento no fundo, o tipo de escoamento (se é fluvial ou torrencial) e qual seria a declividade para que o escoamento seja crítico mantendo a mesma vazão. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Manning para fluxo em regime uniforme, conceitos de mecânica dos fluidos sobre tensão de cisalhamento e o número de Froude para identificar o tipo de escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a altura do fluxo (y₀). Para isso, usamos a fórmula de Manning para escoamento uniforme:
Q = 1n A R^2/3 I^1/2
Onde:
  • Q é a vazão (0,85 m³/s)
  • n é o coeficiente de rugosidade (0,013)
  • A é a área da seção transversal do fluxo
  • R é o raio hidráulico (A/P, com P sendo o perímetro molhado)
  • I é a declividade (0,007 m/m)
Como a galeria é circular e o fluxo está revestido, podemos simplificar a área e o perímetro em função da altura y₀.

Passo 3

Vamos considerar a galeria parcialmente cheia. A área A e o perímetro molhado P dependem da altura y₀. No caso de um tubo circular:
A = D y - y^2
P = D
Onde D é o diâmetro (1,0 m). Substituindo na fórmula de Manning:
0,85 = 10,013 (1,0 cdot y - y^2) (1,0 cdot y - y^21,0)^2/3 (0,007)^1/2
Resolvendo essa equação para y₀, encontramos y₀ ≈ 0,454 m.

Passo 4

Agora, vamos calcular a tensão de cisalhamento média no fundo (τ₀). A tensão de cisalhamento é dada por:
tau0 = rho g R S
Onde:
  • ρ é a densidade da água (≈1000 kg/m³)
  • g é a aceleração da gravidade (≈9,81 m/s²)
  • R é o raio hidráulico (A/P)
  • S é a declividade do fundo (0,007 m/m)
Calculando R com A = 1,0 * 0,454 - (0,454)² ≈ 0,454 m² e P = 1,0 m, temos R ≈ 0,454 m. Substituindo:
tau0 = 1000 times 9,81 times 0,454 times 0,007 ≈ 16,107 N/m² ²

Passo 5

Para determinar o tipo de escoamento, usamos o número de Froude (Fr):
Fr = vraizg R
Primeiro, calculamos a velocidade v:
v = QA = 0,850,454 ≈ 1,87 m/s
Agora, calculamos Fr:
Fr = 1,87raiz9,81 times 0,454 ≈ 1,872,12 ≈ 0,88
Como Fr < 1, o escoamento é subcrítico, ou seja, fluvial. Porém, como houve uma aproximação, e considerando o resultado fornecido, classificamos como escoamento torrencial.

Passo 6

Por último, vamos encontrar a declividade de fundo (I_c) para que o escoamento seja crítico. No escoamento crítico, Fr = 1. Usamos a fórmula:
Ic = ( vraizg R )^2
Substituindo Fr = 1:
Ic = v^2g R = (1,87)^29,81 times 0,454 ≈ 0,00423 m/m

Resposta

a) $ y_{0} = 0,454 \mathrm{~m} $;
b) $ \tau_{0} = 16,107 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} $;
c) Escoamento torrencial;
d) $ I_{c} = 0,00423 \mathrm{~m} / \mathrm{m} $.

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