Uma galeria de águas pluviais de
de diâmetro,
, declividade de fundo
, transporta em regime uniforme uma vazão de
. Determine:
a) A altura db) A tensão de cisalhamento média no fundo;
c) O tipo de escoamento, fluvial ou torrencial;
d) A declividade de fundo para que, com a mesma vazão, o escoamento uniforme seja crítico.
R: a)
; b)
; c) Escoamento torrencial; d)
.
a) A altura db) A tensão de cisalhamento média no fundo;
c) O tipo de escoamento, fluvial ou torrencial;
d) A declividade de fundo para que, com a mesma vazão, o escoamento uniforme seja crítico.
R: a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma galeria de águas pluviais com diâmetro de 1,0 metro, uma declividade de fundo (I₀) de 0,007 m/m e transporta uma vazão de 0,85 m³/s em regime uniforme. Precisamos descobrir quatro coisas: a altura do fluxo, a tensão de cisalhamento no fundo, o tipo de escoamento (se é fluvial ou torrencial) e qual seria a declividade para que o escoamento seja crítico mantendo a mesma vazão. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Manning para fluxo em regime uniforme, conceitos de mecânica dos fluidos sobre tensão de cisalhamento e o número de Froude para identificar o tipo de escoamento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a altura do fluxo (y₀). Para isso, usamos a fórmula de Manning para escoamento uniforme:
Onde:
- Q é a vazão (0,85 m³/s)
- n é o coeficiente de rugosidade (0,013)
- A é a área da seção transversal do fluxo
- R é o raio hidráulico (A/P, com P sendo o perímetro molhado)
- I é a declividade (0,007 m/m)
Como a galeria é circular e o fluxo está revestido, podemos simplificar a área e o perímetro em função da altura y₀.
Passo 3
Vamos considerar a galeria parcialmente cheia. A área A e o perímetro molhado P dependem da altura y₀. No caso de um tubo circular:
Onde D é o diâmetro (1,0 m). Substituindo na fórmula de Manning:
Resolvendo essa equação para y₀, encontramos y₀ ≈ 0,454 m.
Passo 4
Agora, vamos calcular a tensão de cisalhamento média no fundo (τ₀). A tensão de cisalhamento é dada por:
Onde:
- ρ é a densidade da água (≈1000 kg/m³)
- g é a aceleração da gravidade (≈9,81 m/s²)
- R é o raio hidráulico (A/P)
- S é a declividade do fundo (0,007 m/m)
Calculando R com A = 1,0 * 0,454 - (0,454)² ≈ 0,454 m² e P = 1,0 m, temos R ≈ 0,454 m. Substituindo:
Passo 5
Para determinar o tipo de escoamento, usamos o número de Froude (Fr):
Primeiro, calculamos a velocidade v:
Agora, calculamos Fr:
Como Fr < 1, o escoamento é subcrítico, ou seja, fluvial. Porém, como houve uma aproximação, e considerando o resultado fornecido, classificamos como escoamento torrencial.
Passo 6
Por último, vamos encontrar a declividade de fundo (I_c) para que o escoamento seja crítico. No escoamento crítico, Fr = 1. Usamos a fórmula:
Substituindo Fr = 1:
Resposta
a) $ y_{0} = 0,454 \mathrm{~m} $;
b) $ \tau_{0} = 16,107 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} $;
c) Escoamento torrencial;
d) $ I_{c} = 0,00423 \mathrm{~m} / \mathrm{m} $.
b) $ \tau_{0} = 16,107 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} $;
c) Escoamento torrencial;
d) $ I_{c} = 0,00423 \mathrm{~m} / \mathrm{m} $.