1. Um pequeno corpo de 0,10 \mathrm{~kg} executa um movimento harmônico simples de 1,0 \mathrm{~m} de amplitude e período de 0,20 \mathrm{~s}.
    (a) Se as oscilações são produzidas por uma mola, qual a sua constante elástica? (Halliday 15.3)
    (b) Qual o valor máximo da força que atua nele?
    (c) Calcule a energia mecânica do sistema.
    (d) Determine o valor da velocidade do corpo na origem e no ponto de inversão do movimento.

Passo 1

O enunciado dá um corpo de massa m=0{,}10\\ \mathrm{kg} que faz movimento harmônico simples (MHS) com amplitude A=1{,}0\\ \mathrm{m} e período T=0{,}20\\ \mathrm{s}. Vamos usar as fórmulas do MHS para mola ideal:
– relação entre constante elástica k, massa m e período T:
\omega = \frac{2\pi}{T},\quad k = m\,\omega^2.
– força máxima F_{\max}=kA.
– energia mecânica E = \tfrac12\,k\,A^2.
– velocidade máxima v_{\max}=\omega\,A (em x=0) e v=0 no ponto de inversão x=\pm A.

Passo 2

Calcular \omega e k.
\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0{,}20\\ \mathrm{s}} = 10\pi\\ \mathrm{rad/s},
k = m\,\omega^2 = 0{,}10\\ \mathrm{kg}\times (10\pi\\ \mathrm{rad/s})^2 =0{,}10\times100\pi^2 =10\pi^2\\ \mathrm{N/m} \approx98{,}7\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

Determinar a força máxima:
F_{\max} = k\,A = (10\pi^2\\ \mathrm{N/m})\times(1{,}0\\ \mathrm{m}) =10\pi^2\\ \mathrm{N} \approx98{,}7\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Calcular a energia mecânica do sistema:
E = \tfrac12\,k\,A^2 =\tfrac12\times(10\pi^2)\times(1{,}0)^2 =5\pi^2\\ \mathrm{J} \approx49{,}3\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Velocidades nos pontos pedidos:
– Na origem x=0 a velocidade é máxima:
v_{\max} = \omega\,A = (10\pi)\times1{,}0 = 10\pi\\ \mathrm{m/s} \approx31{,}4\\ \mathrm{m/s}.
– No ponto de inversão x=\pm A a velocidade é nula:
v = 0\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) k = 10\pi^2\\ \mathrm{N/m}\approx98{,}7\\ \mathrm{N/m}.
(b) F_{\max} = 10\pi^2\\ \mathrm{N}\approx98{,}7\\ \mathrm{N}.
(c) E = 5\pi^2\\ \mathrm{J}\approx49{,}3\\ \mathrm{J}.
(d) v(0)=10\pi\\ \mathrm{m/s}\approx31{,}4\\ \mathrm{m/s},\quad v(\pm A)=0\\ \mathrm{m/s}.

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